(x^n)を(x-1)^2で割ったときのあまりを求める
という問題で
別の解き方で
>「多項式f(x)をx-aで割った余りはf(a)になる」という定理を使うとき方をおしえてください。
n=0,1,2のとき、xnを(x-1)2で割った余1,x,2x-1
n>2。f(x):=xn-1+…+1とおく、f(x)をx-1で割った余りは、f(1)=n、ある多項式g(x)を用い、f(x)=(x-1)g(x)+n。よって
xn=(x-1)(xn-1+…+1)+1=(x-1){(x-1)g(x)+n}+1=(x-1)2g(x)+nx-n+1
とうとき方になるそうですが、
よくわかりません。
もし、よろしければおしえてください。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>整理すると、x^n-1=(x-1)(x-1)^2・g(x)+n(x-1)
にはならない。右辺第1項が間違っています。下の式をじっくり眺めましょう。
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)
>x^n=はどこからでたのですか
そしえて、+1もどこからですか?
上の式をじっくり眺めると分かると思いますが、両辺に1を足すと
右辺は x^n-1+1=x^n となりますね。
左辺は (x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1
つまり+1は両辺に1を足すところからきているのです。あとは貴方の健闘を祈る。
No.4
- 回答日時:
#2のKENZOUです。
どうも説明が不十分だったのか分からんとこだらけですね(笑い)。ゆっくり説明しますのであせらずにじっくり考えてください。>x^n-1=(x-1){x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1}
のx^(n-(n+1)がよくわかりません。
すみません、書き間違えました。正解はx^(n-(n-1))です。具体的にn=4の場合を見てみましょう。
x^(4-1)=(x-1){x^(4-1)+x^(4-2)+x^(4-3)+x^(4-4)}
=(x-1){x^(4-1)+x^(4-2)+x^(4-3)+1}
この右辺の第3項はx^(4-3)になっていますね。これは
x^(4-(4-1))ですね。つまりn=4とするとx^(n-(n-1))になっています。
------------------------
>>f(x)をx-1で割った商をg(x)、余りをCとします。余りは<剰余定理>よりC=f(1)
は例題ですか?
f(x)=(x-1)g(x)+C とかけますね。#2で書いた剰余の定理を適用すると余りはx=1を代入することで求めることができます。
f(1)=(1-1)g(1)+C=0+C=C つまり C=f(1) ですね。
------------------------
>(5)の
f(x)=(x-1)g(x)+n はなんとなくわかったのですが、どこから表されているのがよくわかりません。
f(x)=x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n-1))+1 (3)
と置きましたね。f(x)を(x-1)で割った余りをCとすると
f(x)=(x-1)g(x)+C
と書けますがいいですか。余りCはすでに上でC=f(1)と求まっていますので、(3)でx=1を代入すると
f(1)=1^(n-1)+1^(n-2)+・・・1^(n-(n-1))+1
=1+1+・・・1+1
=n (←1が全部でn個ある)
(n=4の場合に本当にそうなるか具体的に数えてみてください)
------------------------
>(6)のx^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}は流れで把握したのですが、(x-1)^2・g(x)+n(x-1)にどうしてなるのかわかりません
これは右辺をただ単に展開しているだけ。
右辺=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)
------------------------
>剰余定理をしらべたのですが、
h(x)⇔x^n、f(x)⇔g(x)、C⇔n(x-1)+1
についてよくわかりません
これは難しく考える必要はありません。
(7)式より
x^n=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1 (7)
となりますね。この式の意味は x^nを(x-1)^2で割った商がg(x)、余りはn(x-1)+1 であるということ。(1)のh(x)=(x-a)f(x)+C
はh(x)を(x-a)で割った商がf(x)、余りはCという意味。それを関係づけただけです。⇔の記号なんかにまぎらわされないように(単に対応していますよということを言いたかっただけですから)
この回答への補足
(6)と(7)について教えてください。
>と書けます。(5)を(2)に代入すると
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1) (6)
整理すると、x^n-1=(x-1)(x-1)^2・g(x)+n(x-1)
ですが、
x^n=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1 (7)
となります。が(6)と(7)は同じですか?
x^n=はどこからでたのですか
そしえて、+1もどこからですか?
No.2
- 回答日時:
ojamanboさんがすでに答えられていますので、以下はその補足の蛇足です。
<剰余の定理>
・xの多項式h(x)を(x-a)で割った場合の余りがC(定数)であれば多項式h(x)は次のように書ける。
h(x)=(x-a)f(x)+C (1)
・余りCは(1)の両辺にx=aを代入すれば求まる。
h(a)=(a-a)g(a)+C=C
x^n-1の多項式は次のように因数分解されます(←これがこの問題のポイント)。
x^n-1=(x-1){x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1} (2)
右辺の第2項をf(x)と書くと
f(x)=x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1 (3)
となります。これを(2)に入れると
x^n-1=(x-1)f(x) (4)
と書けますね。さて、f(x)をx-1で割った商をg(x)、余りをCとします。余りは<剰余定理>よりC=f(1)ですが、具体的数値は(3)の右辺のxに1を代入すれば求まる。右辺の項は合計n個あるからf(1)=1+1+1+・・・+1=n。これからf(x)は
f(x)=(x-1)g(x)+n (5)
と書けます。(5)を(2)に代入してやると
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1) (6)
となり、整理すると
x^n=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1 (7)
となります。この式は上の剰余定理と見比べると
h(x)⇔x^n、f(x)⇔g(x)、C⇔n(x-1)+1
と対応していることが分かりますね。つまりx^nを(x-1)^2で割った余りはn(x-1)+1=nx-n+1となります。
この回答への補足
(2)の式の
>x^n-1=(x-1){x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1
のx^(n-(n+1)がよくわかりません。
>f(x)をx-1で割った商をg(x)、余りをCとします。余りは<剰余定理>よりC=f(1)
は例題ですか?
(5)の
f(x)=(x-1)g(x)+n はなんとなくわかったのですが、どこから表されているのがよくわかりません。
例題??
(6)のx^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}は流れで把握したのですが、(x-1)^2・g(x)+n(x-1)にどうしてなるのかわかりません
剰余定理をしらべたのですが、
h(x)⇔x^n、f(x)⇔g(x)、C⇔n(x-1)+1
についてよくわかりません。
記号が苦手で。
たくさん質問しすいません。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1)
ここでf(x)=(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1)
とおくと
f(1)=n だからf(x)=(x-1)g(x)+n
これを最初の式に代入すると
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}
中括弧を展開すると (x-1)^2g(x)+n(x-1)
よって
x^n=(x-1)^2g(x)+n(x-1)+1
これを(x-1)^2で割れば前半部分は割り切れるから
余りはn(x-1)+1=nx-n+1
この回答への補足
ありがとうございます。
聞いてもいいですか?
>x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1)
(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1)の部分がよくわからないです。
ここでf(x)=(x^(n-1)+x^(n-2)+・・・+1)
とおくと
>f(1)=n
どうしてf(1)=nになるのですか?
1を代入すると、f(1)=1+1+…+1?
だからf(x)=(x-1)g(x)+n
これはどこから現れたのですか?
全然、知識がなくてすいません。
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