ラグランジュの未定係数法の計算について
「L=f(x,y)-λg(x,y)」のラグランジュの未定係数法を用い
x^2+y^2-25=0…(1)
という条件のもとで
f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y…(2)
の最大値と最小値を求める、という課題が出ました。
ラグランジュの未定係数法の式を用い
「L=f(x,y)-λg(x,y)」をもとに
L=(x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-6x-8y)
(1)の条件のもとで(2)の極値を求めるために
∂L/∂x=0
∂L/∂y=0とおき
∂L/∂x=2x-6-2λx
=(2-2λ)x-6=0
∂L/∂y=2y-8-2λy
=(2-2λ)y-8=0
と、自分でもここまでは理解できました。
ここから、どうすれば最大値と最小値を導く
λとx、yを計算すればよいかわかりません。
この部分を詳しく解説していただけると助かります。
よろしくお願いします
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2-2λ)x-6=0 → x = 6/(2-2λ) = 3/(1-λ)
(2-2λ)y-8=0 → y = 8/(2-2λ) = 4/(1-λ)
これを
x^2 + y^2 - 25 = 0
に代入すれば、
λは求まるのでは?
{3/(1-λ)}^2 + {4/(1-λ)}^2 = 25
25 = 25(1-λ)^2
1-λ = ±1
λが求まれば、x、yも求められる。
最大値、最小値が欲しいだけなら、
x^2 + y^2 = 25は半径5の円だから、
x = 5cosθ
y = 5sinθ
と表わせて、
これを
f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y…(2)
に入れて、最大値、最小値を求めてもいいよ。
θで微分してもよし、三角関数の合成公式を使って、最大、最小値を求めてもよい。
あるいは、
f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y = 25 -6x -8y = k
として、直線と円の関係からkの範囲を求めてもよい。
計算、頑張って!!
迅速な対応ありがとうございます。
加えて、詳解も非常に助かります!
ありがとうございます。また、機会ありましたら、よろしくお願いします。
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