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下のURLで出している円板の固有振動数の式のKmnの出し方を教えてください
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~iida/lecture/gr/g …
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
掲題のサイトの議論は以下のような疑問があり、ここでの質問に意味がないように
思います。
1.境界条件
詳しくないのですが、R(a)=0はありません。周囲はフリーです。
中心でとめる場合も固定していないようなので境界条件は|R(r)|<∞
しかない。したがって、R'(a)=0 だけになります(これも詳しくないが)。
2.まず、方程式はパラメータの正負によって次の2つの式がでます。
R''+R'/x+(1-n^2/x^2)R=0 (1)
R''+R'/x-(1+n^2/x^2)R=0 (2)
R''+R'/x-(n^2/x^2)R=0 (3)
3.(1)の解は R=AJn+BYn
(2)の解は R=AIn+BKn
(3)の解は R=Ar^n+Br^(-n)
掲題のサイトでは違うパラメータの方程式の解(1)(2)をごっちゃにしています。
4.r=0で有限という条件から
(1)の解は R=AJn
(2)の解は R=AIn
(3)の解は R=Ar^n
となり、R'(a)=0を使うと(2)(3)はA=0 となります(In'>0,r^(n-1)>0)。結局、解は
R=AJn
だけとなる。
5.以上の解でよければ求めるknmは(R'(a)=0を使うと)
Jn'(knm)=0
です。これは、#1のようにして求めることもでききますが、円形導波管の
電磁界の教科書に載っています。
参考URL:http://tpweb2.phys.konan-u.ac.jp/~susa/keisan_bu …
No.1
- 回答日時:
数値計算するしかありません。
フリーソフトMaximaの結果を示します。基のサイトはJm, kmn としていますが、以下ではJn, knmと考えています。
まず、g(n,x)=Jn'(x)/Jn(x)-In'(x)/In(x)
としてg(n,x)=0の解をニュートン法で求めます。
関数を変形したのは、(解が求めやすいと思って?)素直なグラフにするためです。
ベッセル関数の形は次のコマンドを実行すれば表示します。
wxplot2d([bessel_j(1,x),bessel_j(2,x)], [x,0,50]);
wxplot2d([bessel_i(1,x),bessel_i(2,x)], [x,0,5]);
1.まず、JnとInの微分は公式を使って、関数bj(n,x)とbi(n,x)を定義する。
bj(n,x):=(bessel_j(n-1,x)-bessel_j(n+1,x))/2;
bi(n,x):=(bessel_i(n+1,x)+bessel_i(n-1,x))/2;
次に計算関数として
g(n,x):=bj(n,x)/bessel_j(n,x)-bi(n,x)/bessel_i(n,x);
を定義する。つぎのコマンドで、グラフを描いて大体の零点をもとめ、
ニュートン法の開始値とする。
[wxplot2d([g(0,x),g(1,x),g(2,x)],[x,0,20],[y,-10,10],
[legend, "g(0,x)", "g(1,x)","g(2,x)"])]$
2.ニュートン法のパッケージをロードする。
load(mnewton);
3.変数に値をセット
[n:0, x1:3, x2:7, x3:10]$
ニュートン法の計算
[mnewton(g(n,x),x,x1),mnewton(g(n,x),x,x2),mnewton(g(n,x),x,x3)];
結果は次のように表示されます。
(%o39) [[[x=3.196220616582541]],[[x=6.306437047688424]],[[x=9.439499137876405]]]
すなわち、k01=3.196220616582541
k02=6.306437047688424
k03=9.439499137876405
となります。
同様に、次を実行すれば各値が求まります。
[n:1, x1:4, x2:7.5, x3:11]$
[mnewton(g(n,x),x,x1),mnewton(g(n,x),x,x2),mnewton(g(n,x),x,x3)];
(%o41) [[[x=4.610899879049056]],[[x=7.799273800811232]],[[x=10.9580671919195]]]
[n:2, x1:6, x2:9, x3:12.5]$
[mnewton(g(n,x),x,x1),mnewton(g(n,x),x,x2),mnewton(g(n,x),x,x3)];
(%o43) [[[x=5.905678235420522]],[[x=9.196882599635321]],[[x=12.40222096686439]]]
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