この問題が分かりません アは方法Aの方が、1つ目の湯飲みにたくさん入ったので、 Q=mcΔTのmが多

この問題が分かりません

アは方法Aの方が、1つ目の湯飲みにたくさん入ったので、
Q=mcΔTのmが多くなって、
Qa＞Qb
となるとはわかったのですが、イが解き方が分かりません

質問者からの補足コメント

• 問題です

  
    補足日時：2023/02/02 14:28

• 問題です

  
    補足日時：2023/02/02 14:29

• 追記です
  次の問題で、熱量と時間の関係性のグラフが求められたのですが、答えは①なんですが、どうして曲線を描くんですか？

  
    補足日時：2023/02/02 14:32

• 問題です

  
    補足日時：2023/02/02 14:32

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/03 09:32

No.1 です。

#1 では計算で定量的に求めましたが、下記のように「定性的に」推論してもよいと思います。
この推論を正しくできる自信があれば、#1 のようにいちいち定量的に比較してみる必要はないと思います。

(1) 「ア」のように、１つめの茶碗に移動する熱量は「A」の方が大きい。
　ただし、お茶の量が多いので、Ａの方が温度は高い。

(2) １つ目の茶碗から２つ目の茶碗に移すときに、
Ａの１つ目の茶碗の温度は、Ｂの１つ目の茶碗よりも高いまま残る。つまり１つ目の茶碗に残る熱量はＡの方が大きい。

(3) 従って、最終的に２つ目の茶碗とその中のお茶の持つ熱量は、Ｂの方が大きい。
よって、Ｂの方がお茶の温度は高い。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/02 23:23

ふつう「温度変化」を考えるときには、「放熱」「熱の逃げ方」をF83:F107考えるんですけどね。

立体の体積は、例えば「球」を考えれば、
・表面積は半径の２乗に比例
・体積は半径の３乗に比例（質量は体積に比例する）
します。
そういった「質量に対して表面積が大きい」ものが「冷めやすい」ことになります。

ただし、ご質問の問題の場合には、空気中への放熱は考えず、「湯と茶碗」だけの熱のやり取りを考えるようですね。

あなたのいうとおり、Ａの方が「温度の高い湯の量が多い」分だけ「湯→茶碗」への熱の移動が大きいです。

よって
　Qa > Qb

後半は、きちんと温度変化を計算してみないといけないでしょう。

水の量を M [kg]、比熱を w [J/(kg･K)]、最初の温度を Tw [K]、湯飲みの質量を m [kg]、比熱を c [J/(kg･K)]、最初の温度を Tc [K]、としましょう。
Ａの１つめの整定温度を Ta1 とすると、移動した熱量 Qa1 は
　Qa1 ＝ M･w･(Tw - Ta1) = m･c･(Ta1 - Tc)　　　①

①より
　(m･c + M･w)Ta1 = M･w･Tw + m･c･Tc
→　Ta1 ＝ (M･w･Tw + m･c･Tc)/(m･c + M･w)　　　　②

Ａの２つめの整定温度を Ta2 とすると、移動した熱量 Qa2 は
　Qa2 ＝ M･w･(Ta1 - Ta2) = m･c･(Ta2 - Tc)
→　(m･c + M･w)Ta2 = M･w･Ta1 + m･c･Tc
→　Ta2 ＝ (M･w･Ta1 + m･c･Tc)/(m･c + M･w)　　　③

②を使って
　Ta2 ＝ [M･w･(M･w･Tw + m･c･Tc)/(m･c + M･w) + m･c･Tc]/(m･c + M･w)
　　　＝ [(M･w)^2･Tw + M･w･m･c･Tc + (m･c)^2･Tc + M･w･m･c･Tc]/(m･c + M･w)^2
　　　＝ [(M･w)^2･Tw + (m･c + 2M･w)m･c･Tc]/(m･c + M･w)^2

これがお茶の最終温度なので
　Ta = [(M･w)^2･Tw + (m･c + 2M･w)m･c･Tc]/(m･c + M･w)^2　　　④

Ｂの１つめの整定温度を Tb1 とすると、移動した熱量 Qb1 は
　Qb1 ＝ (M/2)･w･(Tw - Tb1) × 2 = m･c･(Tb1 - Tc) × 2
　　＝ M･w･(Tw - Tb1) = 2m･c･(Tb1 - Tc)　　　⑤

⑤より
　(2m･c + M･w)Tb1 = M･w･Tw + 2m･c･Tc
→　Tb1 ＝ (M･w･Tw + 2m･c･Tc)/(2m･c + M･w)

Ｂの2つめの整定温度を Tb2 とすると、移動した熱量 Qb2 は
　Qb2 ＝ (M/2)･w･(Tb1 - Tb2) = m･c･(Tb2 - Tb1) + (M/2)･w･(Tb2 - Tb1)
→　m･c･(Tb2 - Tb1) + M･w･(Tb2 - Tb1) = 0
→　(m･c + M･w)･(Tb2 - Tb1) = 0
m･c + M･w > 0 なので、これが成り立つのは
　Tb1 = Tb2

これがお茶の最終温度なので
　Tb = (M･w･Tw + 2m･c･Tc)/(2m･c + M･w)　　　⑥

Ta と Tb の大きさを比べるために差をとってみれば

　Ta - Tb = [(M･w)^2･Tw + (m･c + 2M･w)m･c･Tc]/(m･c + M･w)^2 - (M･w･Tw + 2m･c･Tc)/(2m･c + M･w)
　= [(M･w)^2･Tw + (m･c + 2M･w)m･c･Tc](2m･c + M･w) - (M･w･Tw + 2m･c･Tc)(m･c + M･w)^2] / [(m･c + M･w)^2･(2m･c + M･w)]
　= {(M･w)^2･Tw + (m･c + 2M･w)m･c･Tc](2m･c + M･w) - (M･w･Tw + 2m･c･Tc)[(m･c)^2 + 2M･w･m･c + (M･w)^2]} / [(m･c + M･w)^2･(2m･c + M･w)]
　= {2(M･w)^2･m･cTw + 2(m･c + 2M･w)(m･c)^2･Tc + (M･w)^3･Tw + (m･c + 2M･w)M･w･m･c･Tc] - (M･w･Tw + 2m･c･Tc)[M･w･(m･c)^2･Tw + 2(M･w)^2･m･c･Tw + (M･w)^3･Tw + 2(m･c)^3･Tc + 4M･w･(m･c)^2･Tc + 2(M･w)^2･m･c･Tc]} / [(m･c + M･w)^2･(2m･c + M･w)]
　= {M･w･(m･c)^2･(Tc - Tw)} / [(m･c + M･w)^2･(2m･c + M･w)]
　< 0
(Tw > Tc なので）

よって
　Ta < Tb

以上より、選択肢では③でしょうか。


あとは、「補足」に「追記」で書いた「温度の下がり方」ですが、あなたが書いているように
　Q = m･c･ΔT
なので、最初は「温度差 ΔT」が大きいので熱の移動量が大きく、湯の温度低下と茶碗の温度上昇で「温度差 ΔT」が小さくなっていくと熱の移動量も小さくなっていく、という関係で徐々に温度変化が小さくなっていきます。
なので、グラフにすると「曲線」になります。

熱いものが冷めていくのは速いですが、ぬるいものが冷たくなる（室温になる）のには結構時間がかかります。
それをグラフにするとお示しのもののようになります。「変化率（接線の傾き）がだんだん小さくなってくる」という「指数関数」の曲線です。