半径ｒの円に内接する正ｎ角形の外周がｎを∞にすると

２πｒになることを理解するには積分の概念が必要ですか。

No.2 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/07/01 01:06

積分でも解けますね

しかしむしろ、積分よりただの極限の概念で解けるでしょう。

正ｎ角形の内角の和は、ご存知の公式の通り、
　　１８０°（ｎ－２）
です。
よって、内角の一つは
　　１８０°（１－２／ｎ）
題意の円の中心Ｏから　隣り合う２つの頂点Ａ1、Ａ2に直線を引くと、
　　∠ＯＡ1Ａ2＝１８０°（１－２／ｎ）／２
　　　　　　　＝９０°（１－２／ｎ）
二等辺三角形△ＯＡ1Ａ2の底辺の長さは、
　　Ａ1Ａ2＝２ｒ・ｃｏｓ（９０°（１－２／ｎ））
正ｎ角形の辺はｎ個あるのでその長さの和は
　　Ａ（ｎ）＝２ｎｒ・ｃｏｓ（９０°（１－２／ｎ））

ｎ→∞　のときの　ｌｉｍＡ（ｎ）　を求める。

という感じです。三角関数の仲間たちの極限は、IIIＣなどの教科書に載っていたと思いますよ。


もっと厳密にπを求めようとした古代の人々はですね、
円の外側にも正ｎ角形をもう一つ描いたわけです。
同様に辺の１つをＢ1Ｂ2とおくと
　　Ｂ1Ｂ2＝２ｒ・ｔａｎ（９０°－９０°（１－２／ｎ））
　　　　　＝２ｒ・ｔａｎ（１８０°／ｎ）
長さの和は
　　Ｂ（ｎ）＝２ｎｒ・ｔａｎ（１８０°／ｎ）

円の円周の長さをＲとおくと
　　Ａ（ｎ）＜Ｒ＜Ｂ（ｎ）

（なぜ大小関係が言えるのかの証明は省きます。）
これをｎ→∞　のもとで挟み撃ちした、と聞いたことがあります。

積分が出てこなくてもπが求められるケースですね。

この回答へのお礼

結果としてπを求める作業だったということになりますね。大変興味深く教えていただきありがとうございます。もう少し勉強したいと思います。

お礼日時：2014/07/01 01:53

No.1 回答者： maiko0318 回答日時： 2014/06/28 17:25

いや、小学生でも理解させるところですよ。

（直径×３．１４）と習いました。今は（直径×約３）と教えるのだったっけな。

この回答へのお礼

早速ありがとうございました。直感的にはよろしいということですね。

お礼日時：2014/06/28 19:10