(1)ビンゴカードの組み合わせは何通りか?
15×15×15×15×15=759375通り
(2)一番早くリーチになる時は?

三回目
(3)一番早くビンゴになる時は?

四回目

では次の問題を解いて教えてください

(4)一番遅くビンゴになる時は何回目?

(5)リーチの最大は何本?

(6)一番早くあがれる場合は四回目ですが、全ての組み合わせを一枚ずつ使い行われたビンゴ大会で四回目にビンゴになる人は何人?

(7)ビンゴゲームにおいてビンゴになる平均回数は何回ですか?

以上お願いします

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A 回答 (16件中1~10件)

>平均値はビンゴの偏差値が左右対象になると予想されるから



4回目でビンゴになる組み合わせは4通りで、確率は4/(75C4)=3.29*10^(-6)
71回目でビンゴになる組み合わせは、70回目でビンゴになっていない組み合わせを考えればいいから、反転・回転を考慮して、
(1) A1,B3,C5,D2,E4のパターンが8通り
(2) A1,B4,C5,D3,E2のパターンが8通り
(3) A1,B3,C4,D2,E5のパターンが4通り
(4) A1,B4,C5,D2,E3のパターンが4通り
確率は(8+8+4+4)/(75C70)=1.39*10^(-6)

このように、4回目でビンゴになる確率と71回目でビンゴになる確率は違います。
とうぜん確率分布も左右対象にはなりません。
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この回答へのお礼

なるほど?複雑なのね。とても難しいですね。そろそろベストアンサーを決めなきゃなりません。熱心に皆さん考えていただいたので皆さん全員にベストアンサーを差し上げたいのですが、それはかなわないので
最後までおつきあいいただいた
あなたにベストアンサーを進呈いたします。ありがとうございました

お礼日時:2014/09/01 23:07

(4)~(6)の答は出たようなので、(7)について。



P(n)をn回目までにビンゴになる確率とすると、
n回目でビンゴになる確率はP(n)-P(n-1)なので、ビンゴになる平均回数は、
Σ[n=1~75]n*{P(n)-P(n-1)}
で計算できます。

P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=0
P(72)=P(73)=P(74)=P(75)=1
はあきらかなので、P(4)~P(71)を求めればいい。

P(4)~P(7)は最大1本のビンゴができるので、
P(4)=4/(75C4)
P(5)={4*(71C1)+8}/(75C5)
P(6)={4*(71C2)+8*(70C1)}/(75C6)
P(7)={4*(71C3)+8*(70C2)}/(75C7)

P(8)~P(10)は最大2本のビンゴができるので、重複する分を差し引いて、
P(8)={4*(71C4)+8*(70C3)-30}/(75C8)
P(9)={4*(71C5)+8*(70C4)-30*(67C1)-24}/(75C9)
P(10)={4*(71C6)+8*(70C5)-30*(67C2)-24*(66C1)-12}/(75C10)

ちなみに、上記の4,8,30,24,12の数字は、
4:4個の穴で1本のビンゴができる組み合わせの数
8:5個の穴で1本のビンゴができる組み合わせの数
30:8個の穴で2本のビンゴができる組み合わせの数
24:9個の穴で2本のビンゴができる組み合わせの数
12:10個の穴で2本のビンゴができる組み合わせの数

P(11)はさらに複雑になって、最大3本のビンゴができるので、重複する分を加減する必要がありますが、
これ以上は手作業では難しいのでこのへんでやめておきます。
時間を1ヶ月ぐらい掛ければ求められるかもしれませんが、そんな気力もないのでパス。


なお、No.8で、
縦に(15P5)^4×15P4、横に75P75のマトリクス表を作って埋めれば、正しい解が得られます(数日かかる)
とありますが、その計算量はそんな生易しいものではありません。
人の一生のあいだ計算しても答は出てきませんし、たぶん地球が滅亡するまで計算しても終わらないでしょう。
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この回答へのお礼

多分ですか。
平均値はビンゴの偏差値が左右対象になると予想されるから
最小四回
最大七十一回の
平均をとって
三十七回半で
ないでしょうか?
立証は複雑な計算が必要となるので困難ですが

お礼日時:2014/08/28 15:06

またまた間違えてしまった。

4回でビンゴになった時、横一列と斜めでビンゴになる人が同時に発生する。ので場合わけは縦一列と横斜めの2つだった。
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この回答へのお礼

そうですよね。そこが複雑かつ困難なとこです。ご回答お待ちしております。

お礼日時:2014/08/26 22:00

面白い質問ですねー 


私もたまにトランプとかの確立求めようとしますが 途中で力尽きますw

(1)ビンゴカードの組み合わせ

計算式 15P5×15P5×15P4×15P5×15P5 
答え 552.446.474.061.128.648.601.600.000 

   552抒4464亥7406京1128兆6486億0160万0000通り

えげつないですねw


(2)1番早いリーチ 

最短でリーチになる時は 真ん中 必須で 縦横斜め の4通り。

【式間違いがあり省きました】

(3)1番早いビンゴ
縦でビンゴの場合は31~45までの数字のみで上がれるのに対して 
横斜めの3通りは31~45以外の数字で上がれます。

【式間違いにより…】

(4)1番遅いビンゴ
70回目数字を呼ばれてもビンゴになっていない形が ビンゴにならないギリギリの形です。
例)あいた場所・・・○

   ○○○○
  ○○○ ○
  ○ ○○○
  ○○ ○○
  ○○○○

これならビンゴにならないはずです。つまり71回目でビンゴが1番遅いですね。


(5)リーチの数
(4)の例では少し違いますが 形を変えれば 縦5 横5 斜め2 のリーチになると思いますよ。 なので最大12個のリーチです。



【追記】
(6)の途中で色々間違っていたことに気付き 戦意喪失したので 間違ってる部分のみ省いて投稿させていただきます。 また暇な時にでも計算しようと思います。
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この回答へのお礼

すごい!
ありがとうございます。

納得しました。

6は解析不可能かも知れませんが
よろしくお願いします。
私は四回であがれるパターンにおいての数字の組み合わせだと思うのですが、式がでてきません。

(7)は最短が4、最長が71のところから期待値は37.5回かなと単純に考えておりますがいかがでしょうか?

お礼日時:2014/08/25 23:46

再チャレンジ。

4個で誰かがビンゴになったとする。縦センターだった場合。同時にビンゴするのは残りの縦4列はなんでも良いから、4!*(15P5)^4のカードがビンゴ。横センターだった場合もおなじ。
さて斜めだった場合は、(14P4)^4*(15P4)*2。A1,B2,D4,E5で誰かがビンゴになったとするとそれ以外の場所の数値の場合の数を数える。同じ数値の組み合わせで逆斜めのカードもあるから2倍している。
答え4回でビンゴになる人数は0人または4!*(15P5)^4または(14P4)^4*(15P4)*2

この回答への補足

あーそうか!
意味がようやく理解できました。

私は異論ありません

正解だと思います
ありがとうございます

補足日時:2014/08/26 00:32
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この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時:2014/08/28 15:07

ビンゴの仕組みを勘違いしてたわ。

聞いてみると数値の並び方にルールがあるのね。75P24通りじゃないのね。失礼しました。以前の回答は撤回します。
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この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時:2014/08/28 15:08

全てのパターンのカードを1枚づつ使うのであればだよ、最初に選ばれた4つの数値が斜めに並んでいるカードがあるはず。

斜めに並ぶ順を考えれば4!個あるはず。同じ数値が逆斜めに並んでいるカードも存在するはず。同様にセンターを通る縦横列もね。だから4!*4通りのカードがビンゴに必ずなる。これは4つの数値がどうであろうと同じ事。(同じ数値は選ばれないので)

この回答への補足

それがですね。ビンゴカードの場合には数字の置き場所が決まっているのですね。Bは1から15まで
Iは16から30まで
Nは31から45まで
Gは46から60まで
Oは61から75まで
仮に四回とも真ん中のNがコールされたらNの縦目しかできないのですよ?
だからすべからく縦、横、斜めの人がBINGOという確率だけにとどまらず縦目だけで成立してしまうことも考慮しないとなりません

補足日時:2014/08/25 17:01
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この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時:2014/08/28 15:08

(6)全てのパターンのカードが1枚づつ使われるのなら、4個の番号が選ばれたとき、それがセンターを通るラインに並ぶ場合の数4!*4が必ずビンゴになる。

この回答への補足

そうではないのですよ。ビンゴカードの組み合わせは552シ4464ガイ7406京1128兆6486億0160万通りあるので一番早くあがれる四回のコールでビンゴになる人がこの通りにそって一枚ずつ使った場合に同時にビンゴになる人がたった四回でも多数出現するのです。その人数を調べたいのですが複雑なのは真ん中が四ますしかないのと数字の並び方によって
呼ばれる数字が特定できないので
計算不可能なのかなというところ

補足日時:2014/08/25 16:36
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この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時:2014/08/28 15:09

#1です。


(1)のカードの種類の件、
手元のカードを見たら昇順だったのですが、
そのようなルールがないのなら、#3さんが正しいですね。

(6)(7)ですが、
計算はどうするか難しいですが、力技ならできます。
縦に(15P5)^4×15P4、横に75P75のマトリクス表を作って埋めれば、
正しい解が得られます。ただ、計算機でやっても、数日かかるのではないでしょうか。

71回目を否定するには、反例をあげれば良いのですが、
5行5列をブロックできる出ていない目は、どうしても5個必要ですね。
(斜めは共通でブロックできます)
これは、どうやって数学的に説明するのかなあ。一般的にnを使って証明したいですよね。
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この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時:2014/08/28 15:10

ちょっと訂正。



で、71回目で残りの5個の数字を選んでもビンゴになります。

で、71回目で残りの5個のうちのどの数字を選んでもビンゴになります。
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この回答へのお礼

たびたびのチャレンジありがとうございます。

お礼日時:2014/08/28 15:11

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Qビンゴの当選確率

こんにちは。

最近気になっている問題があるのですが、それは「ビンゴの当選確率」です。

ご存知の通り、ビンゴと言うのは25マスの紙(Freeマスはないと考えてください)に1~70の数字のうち25個が書いてあり、1~70の数字がかかれたボールを最大50個取り出して5つ並んだらびんごー、と言うゲームです。

この当選確率を計算したいのですが、どうやったらいいのでしょうか?できればExcelなどでやりたいのですが。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

[1] ビンゴに使われる数字は1~K (K=70)までということにしましょう。
 そして、抽選する度に、1,2,3,.....,K の順に数字が選ばれるものと決めます。(実際にはランダムに抽選しますが、それでも以下の計算には何の影響もないんです。)こうしておけば、カードだけを調べればそのカードが何回目の抽選でビンゴになるかが分かる。ですから、話が簡単になります。
 さて、N回目の抽選、つまり1~Nまでの数字が選ばれた段階で、カードが既に当たっている確率。言い換えれば、「N回目までに当たる確率」P(N)というのを求めたい。
 数字の書き方のあらゆる組み合わせはT=(K!)/((K-25)!)通りある。そのカード全部の内で、何枚が当たりになるかを数えれば確率が出ますね。

[2] このために、カードのマス目を色分けします。
N以下の数字が書いてあるマス目を赤、N以上の数字が書いてあるマス目を白に塗ることにしましょう。
 そして、取りあえず、数字が何であるかは関係なく、この赤・白の塗り分けパターンにだけ注目します。すると、赤のマス目が縦・横・あるいは斜めに、少なくとも1本並べば、そのカードは当たりということです。

[3] 赤のマス目の数を「有効マスの個数」と呼んで、これを記号mで表すことにします。例えば、m=4の場合、赤いマス目は4つしかないから、このカードは絶対にハズレ。
 また例えば、m=5の場合、赤いマス目は5つあります。その5つがどう並んでいるかで、当たりになったりハズレになったりするわけです。25個のマス目のうち5個を赤に、残り20個を白に塗るパターンは、(25個の中から5個選ぶ選び方と同じですから、)25C5通りありますが、そのうち120通りだけが当たりになります。(ここで組み合わせの数の表し方 pCq = p!/(p-q)!/q! を使っています。)
さて、mの値ごとに、何通りの当たりパターンがあるかをB[m]と書きます。これを表にしました。
B[25] = 1
B[24] = 25
B[23] = 300
B[22] = 2300
B[21] = 12650
B[20] = 53082
B[19] = 174924
B[18] = 453612
B[17] = 919213
B[16] = 1455040
B[15] = 1812188
B[14] = 1792852
B[13] = 1419596
B[12] = 902428
B[11] = 459300
B[10] = 185292
B[9] = 58094
B[8] = 13680
B[7] = 2280
B[6] = 240
B[5] = 12
mが5~25以外の値の時にはB[m]=0です。
(この表は実はプログラムを書いて計算させちゃったのです。)ともかく、この表を使って、「N回目までに当たる確率」P(N)を計算する方法を説明します。

[4] 例えばN=5の時を考えてみます。既に5回の抽選が行われ、1,2,3,4,5の書いてあるマス目を赤に塗った訳です。しかし、カードにこれら5つの数字が全部書いてあるとは限りません。
1~5の数字がカードに0個ある場合、1個ある場合、....、5個ある場合、の6通りが生じます。言い換えれば有効マスの個数mがm=0,1,2,3,4,5の6通りある。このそれぞれに場合分けする必要があります。
 まずは練習として、あらゆるカードをmの値によって6通りに分類してみましょう。
 mを一つきめます。「赤いマス目がm個あるカード」そういうカードは何枚あるかをD(N,m)とします。すると
(a)カードに書いてあるm個の数字(赤いマス目に対応する)というのは1~Nのうちのどのm個の数字であるか、という組み合わせは
NCm
通りあります。
(b) カードの赤いマス目m個の配置の仕方は
25Cm
通りあります。
(c) そのマス目に、m個の数字を並べる順列は
m!
通りあります。
(d) さて、白いマス目にどんな数字を入れるか、その選び方は
(K-m)C(25-m)
通りあって、
(e) それを並べる順列は
(25-m)!
通りあります。
 以上から、N回目の抽選の時点で、赤いマス目がm個あるカードというのは、これらの積、すなわち
D(N,m)=(NCm)(25Cm)(m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
枚ある。
D(N,m)=(N!)(25!)(K-m)!/((m!)((N-m)!)((25-m)!)((K-25)!))
と書いても同じ事です。
全部でカードは
T= ΣD(N,m)  (Σはm=0,1,....,min(N,25)についての総和)
枚あるわけですが、これは当然、全てのカードの枚数T=(K!)/((K-25)!)と丁度一致します。
ここでmin(N,25)というのはNと25の小さい方、という意味です。
以上、練習でした。

[5]ではいよいよ、N回目の抽選までに当たりになるカードの枚数S(N)を数えます。
m=0,1,2,....,min(N,25)のそれぞれについて、当たりになるカードの枚数をA(N,m)とします。
(a)カードに書いてあるm個の数字(赤いマス目に対応する)というのは1~Nのうちのどのm個の数字であるか、という組み合わせは
NCm
通りあります。
(b) カードの赤いマス目の配置の仕方は、当たりになる配置でなくてはならないので、
B[m]
通りあります。(ここで、先に掲載した表が使われます。)
(c) そのマス目に、m個の数字を並べる順列は
m!
通りあります。
(d) さて、白いマス目にどんな数字を入れるか、その選び方は
(K-m)C(25-m)
通りあって、
(e) それを並べる順列は
(25-m)!
通りあります。
だから、
A(N,m) = (NCm)B[m](m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
です。
ゆえに、N回目の抽選までに当たりになるカードの数は
S(N) = ΣA(N,m)  (Σはm=0,1,....,min(N,25)についての総和)
枚ある。

 N=5の場合には、B[0]~B[4]はみんな0ですから、
B[5] = 12
を使って、
S(5) =A(5,5) = (NC5)12(5!)((K-5)C(25-5))((25-5)!)
ということになります。
だから、N=5回目の抽選までに当たる確率は
P(5) = S(5)/T = 0.000000991
となります。

[6] 同様にして、N=60の場合の計算をしてみましょうか。S(60)を求めるためにA(60,m) (m=0,1,2,.....,25)をそれぞれ計算します。
A(60,m) = (60Cm)B[m](m!)((K-m)C(25-m))((25-m)!)
S(60) = ΣA(60,m)  (Σはm=0,1,....,min(60,25)についての総和)
となり、
P(60) = S(60)/T = 0.997590428
となります。

[7]
P(0),P(1),P(2),P(3),P(4)はいずれも0であり、
P(K), P(K-1),P(K-2),P(K-3), P(K-4)はいずれも1になることは自明でしょう。
 丁度N回目で当たりになる確率を知りたければ、P(N)-P(N-1)を計算すればよいのです。
 ちなみに、P(40)<0.5<P(41)です。40回ぐらいの抽選で、半数が当たりになる訳ですね。

[1] ビンゴに使われる数字は1~K (K=70)までということにしましょう。
 そして、抽選する度に、1,2,3,.....,K の順に数字が選ばれるものと決めます。(実際にはランダムに抽選しますが、それでも以下の計算には何の影響もないんです。)こうしておけば、カードだけを調べればそのカードが何回目の抽選でビンゴになるかが分かる。ですから、話が簡単になります。
 さて、N回目の抽選、つまり1~Nまでの数字が選ばれた段階で、カードが既に当たっている確率。言い換えれば、「N回目までに当たる確率」P(N)という...続きを読む

Qビンゴ「しない」確率は?

1~75とFreeのある一般的なビンゴで、ビンゴしない確率を出したいのですが、それぞれどのようになるのでしょうか?

イ:70回目でビンゴにならない確率

ロ:最初の3つでリーチがかかるが、その後25マスのうち20マスまで開いてもビンゴとならない確率

Aベストアンサー

イだけ

25マスのうち20マス開いてもビンゴにならないマスの位置の組み合わせは24通りあるので、
70回目でもビンゴにならない確率は、
24/(75C70)≒0.00000139055


ロは、
最初にどの3つのマスが開いたかでその後の確率が変わってくるし、何回目で20マスが開くかも考慮しないとならないので、手作業で場合分けするのはかなり大変でしょう。
たぶん、イの確率よりさらに0が3~4個くらい多くなるでしょうね。

Qビンゴの作り方

33人でビンゴをするのには、何マスでいくつの数字を使用するとよいでしょうか。

Aベストアンサー

パーティの際に行うビンゴゲームのことですね?一般的には数字を出す方の機械が75までで市販のカードがそれに準じて5*5の25マスに振り分けられています。(但し真中は最初から穴があけられています)この市販のものを使わずにするといこうことで考えると、まず目的が何かということ(景品をプレゼントするため、単なる競技として)それと時間どの程度費やせるかということです。一般的にはやはり前記の通5*5で数字は75までが良いと思います。(市販のカードは一番左の行が1-15、左から2番目が16-30、真中が31-45、右から2番目が46-60、一番右が61-75の中から数字が割り当てられてます)数字は多くて100迄マスは少なくても4*4くらいがぶなんかと思います。海外ではビンゴもルーレット等と同じようなカジノゲームの一種で私がラスベガスに行った時もありました。

Q「○○通りのパターンがある」の計算のしかた

よくこの組み合わせは全部で1万通りのパターンが存在するというようなことを聞きますが、
あれの方程式などはあるのでしょうか。

以下の例で説明をお願いします。

1. [a,b,c]の3つだけの文字列を作った時のパターン数
2. 英数字のみのパスワード4桁のパターン数
3. [a,b,c,d,e,f,g]の中から4文字をつかった文字列のパターン数。

Aベストアンサー

ちゃんと中学で確率を勉強しましたか?
方程式というか中学生で習う確率の授業をちゃんとやればわかります。難しいとこは
全くなく基本です。

(1)(a.b.c)の3つだけの文字列を作った時のパターン数

▼3つだけを使うので同じものは2回使えない
▽最初にa.b.cの3つのうちのひとつが選べる
▽次に最初に選んだもの以外の2つのうちのひとつが選べる
▽最後に1つ残る

従って
3×2×1=6

で答えは6通り

▽検証
下記がその6通り
a.b.c
a.c.b
b.a.c
b.c.a
c.a.b
c.b.a

(2)英数字のみのパスワード4桁

アルファベットは26文字
数字は10種類

▼同じ英数字を二度使ってもかまわないので

選べる英数字は毎回36通り

ここから4桁を選ぶのだから

36×36×36×36=1679616

1679616通り

(3)(a.b.c.d.e.f.g)の中から4文字を使った文字列のパターン

▼同じ文字を二度使わない場合
▽最初は7つ選べる
▽二回目は6つから選べる
▽三回目は5つから選べる
▽四回目は4つから選べる

7×6×5×4=840

840通り

ちなみに
▼同じ文字を二度使ってもよい場合なら
▽毎回7つから選択できる

7×7×7×7=2401

2401通り

ちゃんと中学で確率を勉強しましたか?
方程式というか中学生で習う確率の授業をちゃんとやればわかります。難しいとこは
全くなく基本です。

(1)(a.b.c)の3つだけの文字列を作った時のパターン数

▼3つだけを使うので同じものは2回使えない
▽最初にa.b.cの3つのうちのひとつが選べる
▽次に最初に選んだもの以外の2つのうちのひとつが選べる
▽最後に1つ残る

従って
3×2×1=6

で答えは6通り

▽検証
下記がその6通り
a.b.c
a.c.b
b.a.c
b.c.a
c.a.b
c.b.a

(2)英数字のみの...続きを読む


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