( )内を埋めて解法を教えてください

2次方程式x^2+(m-14)x+m=0の異なる2つの解がともに自然数になるとき、定数mの値は(　)である。

答えは
８

No.1 ベストアンサー 回答者： Ufo718 回答日時： 2014/09/02 22:05

解と係数の関係を用いて

α+β=-m+14
αβ=m

αβ+α+β=14
(α+1)(β+1)-1=14
(α+1)(β+1)=15
β≧αとする時
(α+1,β+1)=(1,15),(3,5)
の二通り考えられるが
二つの解は自然数なので
α≧1,β≧1
よって
α+1≧2,β+1≧2となるので
α+1=3,β+1=5
α=2,β=4

故にm=αβ=2*4=8

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます。

お礼日時：2014/09/02 22:44

No.2 回答者： opiok 回答日時： 2014/09/02 22:42

異なる2つの自然数の解をα、βとおくと

与式=（x-α）（x-β）=x^2-（α+β）x+αβとなる
与式と係数を比較して
α+β=14-m、αβ=m
これから（1+α）β=14-α
α=1とすると、左辺は偶数で右辺は奇数13になり不可
α=2とすると、β=4
α=3とすると、左辺は偶数で右辺は奇数11になり不可
α=4とすると、β=2
α=5とすると、左辺は偶数で右辺は奇数9になり不可
α=6とすると、等式を満たすβが存在しないので不可
α≧7では、β=1としても常に左辺の値が右辺の値よりも大きくなるので不可
よって、m=αβ=2*4（または4*2）=8