比例式の問題を教えてください（訂正版）

No.88660の質問が間違っていました。
もう一度訂正したものを書きます。

問題：
ａ、ｂ、ｃ、ｄは自然数で、ａとｂは互いに素とする。
ａ/ｂ＝ｃ/ｄならば、
　　　ｃ＝ｋａ、ｄ＝ｋｂとなるような自然数ｋが存在することを示せ。
これならどうでしょうか。

No.1 回答者： ranx 回答日時： 2001/06/11 18:23

反例をあげます。

a=6, b=9, c=10, d=15 の時、
a<c かつ b<d で a/b = c/d ですが、
c=ka, d=kb となるような自然数 k は存在しません。

この回答への補足

問題が違っていました。
「ａとｂは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時：2001/06/11 22:21

この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 16:04

No.2 回答者： hero1000 回答日時： 2001/06/11 18:23

a、b、c、dがそれぞれ自然数で、a＜c、b＜dなので、

a/b = c/d ということは「c/dを約分した結果がa/bだ」と言えます。
ということは、ある数kを用いて
c/d = (ka/kb)
と表記することができます。
約分を示す等式ですから、分子どうしと分母どうしは等式で成り立ちます。
よって、
　c=ka、d=kbとなる数kが存在します。

ただ、kが自然数かどうかは証明できません。
例えばa/bが6/12、c/dが9/18という状態ならば、両方とも約分すれば1/2になる
のですが、この場合のkは2/3になってしまうからです。

この回答への補足

問題が違っていました。
「ａとｂは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時：2001/06/11 22:20

この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 16:02

No.3 回答者： dry-6 回答日時： 2001/06/11 18:53

a/b = c/d

c = a(d/b) (1)
d = b(c/a) (2)

(a/b)(d/a) = (c/d)(d/a)
d/b = c/a (3)

(1)(2)(3)より
k = d/b = c/a

この回答への補足

問題が違っていました。
「ａとｂは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時：2001/06/11 22:19

この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 16:01

No.4 回答者： noname#598 回答日時： 2001/06/11 20:30

先人の方々の通りです。

このままでは反例が存在し、この命題は偽（成り立つとは限らない）です。

ｃ＝ｋａ、ｄ＝ｋｂとなるような「実数ｋ」が存在することを示せ。
ならばこの命題は真（正しい）で、No.3のように証明できます。

これが分からないと他のものが解けないという文章を見ていて、
単なる予想をしたのですが、

ａ/ｂ＝ｃ/ｄならば、
(a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d)

のようなものが証明したいのですか？
それならば、ａ/ｂ＝ｃ/ｄ＝ｋ（ｋは実数）とおき、
ａ＝ｂｋ，ｃ＝ｄｋとして、左辺＝右辺を示します。
ａ/ｂ＝ｃ/ｄの形を比例式と言いますが、
比例式が与えられたときの証明のほとんどは、
＝ｋと置いて分子をｋと分母を使って表すのが定石です。

一応ご参考までに。
見当違いだったらすいません。

この回答への補足

問題が違っていました。
「ａとｂは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時：2001/06/11 22:17

この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 15:58

No.5 回答者： yu-mizu123 回答日時： 2001/06/11 22:01

「ａ、ｂ、ｃ、ｄは自然数で、ａ＜ｃ，ｂ＜ｄとする。

ａ/ｂ＝ｃ/ｄならば、」
ａ／ｂ＝ｃ／ｄからａ：ｂ＝ｃ：ｄ　比の関係あります。
上記の事からｃはａの倍数です。同じくｄはｂの倍数です。
この倍数は同じ値になります。ａ、ｂ、ｃ、ｄは自然数なのでこの倍数をｋとした時にｋは自然数になります。ある自然数Ｘある自然数＝自然数となるからです。
ｋｘａ＝ｃ、ｋｘｂ＝ｄとなります。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
ａ／ｂ＝ｃ／ｄからａｘｄ＝ｂｘｃとし両辺にｂをかける
ａ＝ｂｘｃ／ｄ　ｋ代入します。
ａ＝ｃ／ｋから
ｋ＝ｃ／ａ→ｋ＝ｄ／ｂ

この回答への補足

問題が違っていました。
「ａとｂは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時：2001/06/11 22:14

この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 15:56

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2001/06/11 23:44

a/bが既約分数であるという条件が付きました。

これなら自明でしょう。
でも念のためにじっくりやってみましょうね。

a/bが既約分数とはつまり
　(1) a, bを共に割り切る1より大きい自然数はない。
(m/n)を既約の正の有理数（m,n>0）として
(m/n)=c/a
このようなm,nは必ず存在します。（c/aを約分したものに過ぎません。）念のために、既約であるということは
　(2) mとnの素因数分解は共通の素数を含んでいない。
という意味ですね。
するとa/b=c/dの関係から
(m/n)=d/b
が成り立つ。ゆえに
a(m/n) = c, b(m/n)=d
です。ここでc, dが自然数であるためにはamはnで割り切れ、bmもnで割り切れなくてはならない。
ゆえに、もしn>1ならば、(2)によって、
　(3) amがnで割り切れるならば、aはnで割り切れる。
　(4) bmがnで割り切れるならば、bはnで割り切れる。
が言える。すなわちa,bを共に割り切るn>1が存在することになり、条件(1)に矛盾してしまう。
だからn=1でなくてはならない。そこで
k=m/n = m
とおけば、これが求める自然数というわけです。

No.7 回答者： noname#598 回答日時： 2001/06/11 23:46

分母を払うと

ａｄ＝ｂｃで、かつａとｂは互いに素、
しかも積ａｂ、ｂｃは自然数だから、この等式が成り立つには、
ｄはｂの倍数でなくてはならない。
よって適当な自然数ｋを用いてｄ＝ｋｂと表せる。
これを再び等式に代入すると、
ｋａｂ＝ｂｃ
両辺をｂで割れば、ｃ＝ｋａが得られる。
こんなもんでどうでしょう？

蛇足です。
大変請謁なんですけど、問題を間違えたわけですから、
貴方の満足のいく解答は出てこなくて当然ですよね。
88660の質問は締め切るべきだと思いますがいかがでしょう？
皆さん一生懸命考えてくださったわけですから。ね。

この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません。
自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。
大変ご迷惑をおかけしました。
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 15:47

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2001/06/12 03:55

回答かいちゃった↓。

閉めてから再質問してくださいよお。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru_reply.php3?q=8 …

この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません。
自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。
大変ご迷惑をおかけしました。
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時：2001/06/12 15:46