数3の極限問題について教えてください

解き方、答えまで教えていただけると光栄です！お願いします(´>ω<｀)

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/20 16:58

L=lim(x→1)[(x^n-x^(-n)]/[x-x^(-1)]

ロピタルの定理(url参照)

lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)

を使うと簡単

L=lim(x→1)[(x^n-x^(-n)]/[x-x^(-1)]

=lim(x→1)[nx^(n-1)+nx^(-n-1)]/[1+x^(-2)]=(n+n)/(1+1)=n


ロピタルの定理は使わないというのであれば

見通しをよくするために

L=lim(x→1)[(x^n-x^(-n)]/[x-x^(-1)]

=lim(x→1)[(x^2n-1)/(x^2-1)](x/x^n)

=lim(x→1)x^(1-n)[(x^2n-1)/(x^2-1)]

分子のうち　x^2n-1=(x^n-1)(x^n+1)=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+....+x+1](x^n+1)

分母≒(x-1)(x+1)

(x-1)が共通にあるのでこれを消しあって

L=lim(x→1)x^(1-n)[x^(n-1)+x^(n-2)+....+x+1](x^n+1)/(x+1)=1×n×2/2=n

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94% …

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。
ロピタルの定理は習得していましたが、高校の筆記テストでは解答として使うことができないのでロピタルの定理が使えない場合の回答もとても役に立ちました。
参考URLも拝見させていただきました。本当に丁寧な回答に感謝しきれません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2015/01/20 18:24