数学！！

この問題の途中式と答えをオシエテクダサイ。


よろしくおねがいします

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/02/11 00:02

(3) は有名な

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
ってやつですな＞#1.

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/10 18:22

(1)x^2y^2-x^2-y^2+4xy+1

ある変数について２次式にできれば解の公式で解ける。

xの２次式とみると（ｙを定数とみる）

(y^2-1)x^2+4yx-y^2+1=0

x={[-2y±√(4y^2+(y^2-1)^2]}/(y^2-1)

={[-2y±√(y^2+1)^2]}/(y^2-1)

=[-2y±(y^2+1)]/(y^2-1)=(y-1)^2/(y^2-1), -(y+1)^2/(y^2-1)

つまり

x=(y-1)/(y+1), x=-(y+1)/(y-1)

これから

(y+1)x-(y-1)=0, (y-1)x+(y+1)=0

掛け合わせて

[(y+1)x-(y-1)][(y-1)x+(y+1)]=0

符号が変わっていたり係数がかかっていたりするので確認する。この場合、OK


(2)x^4+x^2-2ax-a^2+1

これはaに関する２次式(xを定数とみる)、解の公式でもよいが平方完成という手もある。

-a^2-2ax+x^4+x^2+1=-(a+x)^2+x^2+x^4+x^2+1

=-(a+x)^2+(x^2+1)^2

=[(x^2+1)+(a+x)][(x^2+1)-(a+x)]

=(x^2+x+a+1)(x^2-x-a+1)


(3)a^3-3ab-b^3-1

この問題の作者は何かの偶然でこんな式を見つけて喜んで出題したのだろう

これは(a-b)とabで構成されていると気付くと解ける。

F=a^3-3ab-b^3-1＝a^3-b^3-3ab-1=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2-3ab-1

=(a-b)^3+3ab(a-b)-3ab-1

p=a-b, q=abとおくと

F＝p^3+3pq-3q-1=p^3-1+3q(p-1)=(p-1)(p^2+p+1+3q)

=(a-b-1)(a^2-2ab+b^2+a-b+1+3ab)

=(a-b-1)(a^2+ab+b^2+a-b+1)

(a^2+ab+b^2+a-b+1)は虚数の範囲までやれば１次式になるがそこまでは通常やらない。

よって

a^3-3ab-b^3-1=(a-b-1)(a^2+ab+b^2+a-b+1)

右辺を展開して確認すること。