数学の、方程式です。

次の連立方程式を解きなさい。

ax + y ＝ 1
(a + 2)x + ay = 2　　　ただしa は定数。

（解説も宜しくお願いします。）

質問者からの補足コメント

• すみません、( a + 2 )x + a( -ax + 1 ) = 2　をaについて整理して、因数分解したら（a-2)(xa+x-1)＝０となり、a=2もしくは x=1/a+1 となったのですが、何だか問題の「ただし、aは定数」というのが気になって、定数であるa=２、その時ｘ＝２ｙ(を満たすx,y)が答えか？と思いました。
  
  また　( a + 2 )x + a( -ax + 1 ) = 2　をxについて整理した時も、（a-2)(a+1)x -(a-2)＝０となるので、これが常に成り立つには a=２でないと？と思って同様の答えかと思いました。この考え方自体、問題あったのでしょうか？
  
  aは特定する必要がなくて、ｘ＝１/a+1 が答えだと、確かに a＝２でなくても２式が成り立つのでなるほどと思ったのですが、a=-1の時には解が存在しませんが、気にしなくともいいのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/04/17 18:29

No.4 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/04/18 10:35

ax +　y ＝ 1

(a + 2)x + ay = 2　(1)をa倍して引く

　　　ax +　y ＝ 1　　　
(-a² + a + 2)x = 2 - a

　　　ax +　y ＝ 1　　　
(2 - a)(a + 1)x = 2 - a　　両辺に1/(2 - a)(a + 1) をかける。
※ ただし、a=2,a=-1 を除く---あとで説明する。

　　　ax +　y ＝ 1
　　　 x　　　 = 1/(a + 1)

　　　ax +　y ＝ 1　　　　　(2)をa倍して引く
　　　 x　　　 = 1/(a + 1)

　　　　　　 y ＝ 1 - a/(a + 1)
　　　 x　　　 = 1/(a + 1)

　　　　　　 y ＝ 1/(a + 1)
　　　 x　　　 = 1/(a + 1)

∴　 x = y = 1/(a + 1)　　ただしa=2とa=-1を除く。

(検算)
　　　a{1/(a + 1)} +　{1/(a + 1)} ＝ 1
(a + 2){1/(a + 1)} + a{1/(a + 1)} = 2

　　　a/(a + 1) +　1/(a + 1) ＝ 1
(a + 2)/(a + 1) + a/(a + 1) = 2

　　　(a + 1)/(a + 1) ＝ 1
(2a + 2)/(a + 1) = 2
OK

ここで、a=2とa=-1については連立方程式は
　　　ax +　y ＝ 1
(a + 2)x + ay = 2

a=2
　　(2)x +　y ＝ 1
((2) + 2)x + (2)y = 2

　　　2x +　y ＝ 1
　　　2x +　y = 1　　　この方程式は不定となる。

a=-1
　　(-1)x +　y ＝ 1
{(-1) + 2}x + (-1) y = 2

　　-x +　y ＝ 1
　　 -x + y = -2
　　　この方程式は不能となる。

この回答へのお礼

aについては、解を示した後、「ただしa=2とa=-1を除く」という表記が必要ということですね。
どうも有難うございました。

お礼日時：2015/04/19 20:47

No.6 回答者： fxq11011 回答日時： 2015/04/18 16:30

NO5さんの通り

　ただしa=2とa=-1を除く。
がないと、配点の半分の点しかつけてくれません。

この回答へのお礼

どうも有り難うございました。

お礼日時：2015/04/19 20:49

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/04/18 12:40

No.3です。

補足を念頭において説明すると
＞何だか問題の「ただし、aは定数」というのが気になって、
　は良いのですが、そこからが違う。定数と言う事は「解く必要がない」と言う意味です。
　「連立方程式を解け」という課題なのですから、
xとyの値の両方を示さないと正解にはなりません。

＞これが常に成り立つには a=２でないかと・・・
　連立方程式では不定と不能を除かなければなりません。
不定の場合はxやyが何でも成り立つ
不能の場合は連立方程式を成立させるx,yの値が存在しない
　
＞aは特定する必要がなくて、
　必要はありません。『次の連立方程式を解きなさい。ただしa は定数。』と書かれているのにaを求め必要はない。もし問題が『次の連立方程式を解きなさい。ただしa は5。』と書かれていて解きますか？(笑)

※a=2,a=-1が除かれるのは、計算の過程で、1/(a-2)や1/(a+1)をかける処理があるからです。1/0は不可ですから

よってこの連立方程式を解いた答えは
x = y = 1/(a + 1)　　ただしa=2とa=-1を除く。
となるのです。
※xとyの両方が示されいていること
※連立方程式自体が成り立たない、あるいは不定である条件を書くこと
の二つが示されていなければならないと言う事です。
　数学は国語です。『次の連立方程式を解きなさい。ただしa は定数。』を正確に読取れないと解けません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/04/17 19:18

No.2です。

補足に書かれたことは、確かにそうですね。aに関して、条件を付加する必要がありますね。
　これを落としていたのは、片手落ち、誤りでした。
　正しくは、次のようになります。

第1式　ax + y ＝ 1　から、y = -ax + 1

これを第2式に代入して、

( a + 2 )x + a( -ax + 1 ) = 2

これを整理して、

x( -a^2 + a + 2 ) + a = 2

x( a - 2 )( a + 1 ) = a - 2

ここからの変形は　a ≠ 2、a ≠ -1　という条件が付き、この条件のときに

　x = 1 / ( a + 1 )

となります。

　a = 2 のときには不定、a = -1 のときには不能となります。

この回答へのお礼

どうも有り難うございました。

お礼日時：2015/04/19 20:39

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/04/17 09:17

あれ？　No.1さん、下から3行目→2行目のところで、「a」が落ちましたね。

　もう一度トレースします。

第1式　ax + y ＝ 1　から、y = -ax + 1

これを第2式に代入して、

( a + 2 )x + a( -ax + 1 ) = 2

これを整理して、

x( -a^2 + a + 2 ) + a = 2

従って

　x = ( a - 2 ) / (a^2 - a - 2 )
　　= ( a - 2 ) / [ ( a - 2 )( a + 1 ) ]
　　= 1 / ( a + 1 )

です。


　しかし、一番問題なのは、質問者さんが、こんな単純な問題すら解けないという事実です。いったい何が分からないのか、きちんと自問自答して、そこを復習した方が身のためです。

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/04/17 08:21

ax + y ＝ 1

(a + 2)x + ay = 2　
y=-ax＋１
（a＋２）ｘ＋ a（－aｘ＋１）＝２
aｘ＋２ｘーa＾２ｘ＋a＝２
ｘ（-a^2+a＋２）＝２
ｘ＝２／（-a^2+a＋２）

この回答へのお礼

考えていただいて有難うございました。

お礼日時：2015/04/19 20:38