伝熱工学の問題についての質問です

図に示すように、球内の熱伝導を考える。半径R1の内層には単位時間、単位体積当り発熱Sがあるとする。また、半径R1からR2までの外層内に発熱はないものとする。今、任意の半径r での熱流束qに対する微分方程式を得るために、半径r からr + Δrの薄い層を考える。半径rの位置で、この薄い層の全表面に流入する熱量は4πr^2q_rであり、また半径r + Δrの全表面から流出する熱量は4π(r+Δr)^2q_r+Δrとなる。そして、この流入する熱量と流出する熱量の差が、この層内で発熱がある場合にはその発熱量とバランスしている。以下の問いに答えよ。
（１）半径r≦R1の内層での熱流束q1を記述する微分方程式を導け。

答えは画像に書いてあるとおりになると思うのですがあっていますか
よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

• dではなく∂だということはわかったのですが
  ∂/∂r{r^2・∂q(r)/∂r} + S = 0
  はどのようにして導き出されたのですか

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/06/07 14:32

• Sはrの関数だということはわかったのですが、
  （4π(r+Δr)^2q_r+Δr）－（4πr^2q_r）＝ΔS
  からどう変形すると下の式になるかわかりません
  ∂/∂r{r^2・∂q(r)/∂r} + S = 0

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/06/07 15:55

No.2 ベストアンサー 回答者： lupan344 回答日時： 2015/06/07 15:19

Sはrの関数だと思いますが、微分しなくて良いんですか？（Δrで、S＋ΔSになるような気がするんですが？）

あくまで、R1の内側ですよね？（体積的な内部発熱がある状態）
（4π(r+Δr)^2q_r+Δr）－（4πr^2q_r）＝ΔSになるって事では無いですか？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2015/06/12 16:10

平衡状態の話か過渡状態の話かで扱い方が全然違ってくる。

ここ、めっちゃ大事です。でも、ま、問題とご質問のレベルのバランスから見て、平衡状態の話だろうと思う。惑星内部の発熱の模型かな？

　平衡状態におけるこの球殻の熱の収支の方程式は、要するに
　　(出て行ったぶん)+(消滅したぶん) = (入ってきたぶん)+(発生したぶん)
ということ。ちなみに過渡状態なら収支は
　　 (出て行ったぶん)+(消滅したぶん)+(ため込んだぶん) = (入ってきたぶん)+(発生したぶん)
というふうに勘定しなくちゃいけない。ま、それはさておき。
　ご質問の場合には(消滅したぶん)はゼロ。一方(発生したぶん)については、S=S(r)は単位体積当たりの発熱でしょ。だったら、半径r厚みΔrの球殻での発熱は、球殻の体積をかけ算して 4π(r^2)Δr S(r)になる。だから
　　4π((r+Δr)^2)q(r+Δr) = 4π(r^2)q(r)+4π(r^2)Δr S(r)
ってことです。
　平衡状態、つまり、時間が経っても何も変化しない、という場合の話なんだから、時間tによる偏微分は（何をtで偏微分したってゼロに決まってるんで）出て来ようがない。で、時間が関係ないんなら熱伝導率も関係ないってことは、その単位を考えてみれば分かる。
　あ、また脱線した。元に戻って、両辺を4π(r^2)で割れば、
　　((1+Δr/r)^2)q(r+Δr) = q(r)+Δr S(r)
となり、これは「半径rの球殻上の、単位表面積当たりの方程式」になっている。慣れてくると、いきなりこの形が思い浮かぶ人もいると思う。でも、こうしてしまうとr=0のときに0による割り算が生じて破綻する。なので4π(r^2)じゃなく、4πで割っておくと
　　((r+Δr)^2)q(r+Δr) = (r^2)q(r)+(r^2)Δr S(r)
です。ここで
　　q(r+Δr)=q(r)+Δq(r)
としてΔr, Δq(r)の2次以上の項を（あとでΔr→0の極限を取るとどうせ消えちゃうから）無視して展開すれば
　　(r^2)q(r)+(r^2)Δq(r)+(2rΔr)q(r)=(r^2)q(r)+(r^2)Δr S(r)
だから
　　(r^2)Δq(r)+(2rΔr)q(r)=(r^2)Δr S(r)
である。ここで、つい(r^2)で割り算したくなるでしょうが、そうすると、先に述べたようにr=0のときに困ってしまう。でもrで割るのならOKですね。式を整理した上で、最後にΔq(r)/Δrをdq/drに差し替えるんです。（つまりΔr→0の極限を取るということ。もちろん、(dq/dr) もrの関数です。）

　偏微分がどうしただとか混乱しやすい初心者は、いわゆる「従属変数」という（初心者には使いこなせない）概念を捨てて、上記のように「それがナニの関数なのかを、はっきり分かるようにいちいち書く」という習慣を付けると良いです。そうすると、この場合には偏微分に出番はないということも明確になるでしょ。

　ところで文字"Q"の書き方、"G"とまぎらわしいんで直した方が良いと思うぞ。下から右回りにマルを描いてからシッポをつけるんです。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/06/07 14:20

十分時間が経った定常状態での系の記述と言う事と理解する・・!

違う・・!
微分方程式は
∂/∂r{r^2・∂q(r)/∂r} + S = 0

(熱伝導率(λ)が定義されていない様なので取り敢えずλ=1で考えることにするが・・)