積分の問題

実数全体で定義され、f(x)f'(x)=e^2x-e^-2x
を満たす微分可能な関数f(x)の最小値が2であるとき
この関数f(x)を求めよ。

お願いします。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/06/18 17:13

ちょっと #2 に突っ込んでおくと途中の

f(x)^2≧0のために

Ｃ≧1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）

が必要。

の部分は間違っています. C≧1 は f(x)^2 ≧ 0 の必要条件ではありません.

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/06/18 00:36

f(x)f'(x)=e^2x-e^-2x　　　　　　　　　　　　　　　（1）

両辺をxで積分する。

∫f(x)f'(x)dx=∫[e^2x-e^-2x]dx　　　　　　　　　　　（2）

[f(x)^2]'=2f(x)f'(x) ('はxによる微分を表す。)

を用いると（2）の左辺は

∫f(x)f'(x)dx＝(1/2)∫[f(x)^2]'dx=(1/2)∫{d[f(x)^2]/dx}dx
=(1/2)∫d[f(x)^2]=(1/2)f(x)^2+c

（2）の右辺は

∫[e^2x-e^-2x]dx＝(1/2)e^(2x)+(1/2)e^(2x)+c'　　　　　　　　

以上により

(1/2)f(x)^2+c=(1/2)e^(2x)+(1/2)e^(2x)+c'

f(x)^2=e^(2x)+e^(2x)+C

=[e^x+e^(-x)]^2+C-1

f(x)^2≧0のために

Ｃ≧1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）

が必要。


f(x)=±{[e^x+e^(-x)]^2+C-1}^(1/2)　　

f'(x)=±(1/2){[e^x+e^(-x)]^2+C-1}^(-1/2)・2[e^x+e^(-x)]・[e^x-e^(-x)]
=±{[e^x+e^(-x)]^2+C-1}^(-1/2)・[e^(2x)-e^(-2x)]

f'(x)=0となるのはe^(2x)-e^(-2x)=0、すなわちｘ=0のときであって、

f(0)=±{C+3}^(1/2)

lim(x→±∞)[e^x+e^(-x)]^2=∞

であるので

f1(x)={[e^x+e^(-x)]^2+C-1}^(1/2)は下に凸の曲線であって最小値
　　　　　　　　　
f1(0)={C+3}^(1/2)を有する。

f2(x)=-{[e^x+e^(-x)]^2+C-1}^(1/2)は上に凸の曲線であって最小値を有しない。

以上より

f(x)=f1(x)={[e^x+e^(-x)]^2+C-1}^(1/2)

であって最小値の条件より

{C+3}^(1/2)=2 ⇒　Ｃ＝1 これは（3）を満たす。

f(x)=e^x+e^(-x)

f(x)は全実数xに対して微分可能である。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/06/17 23:59

f(x) = 2 cosh x.