整数問題を教えて下さい。

次の方程式を満たす自然数x,yの組み合わせを求めよ
3x^2-4xy+2y^2-2x-y=0
これがどうしても出来ないんですが因数分解するのか判別式を使うのかわかりません。
解き方を教えて下さい。宜しくお願いします。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/15 19:05

＃1です。

自然数の解を求める問題でした。(0,0)は含まれません。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2015/08/15 18:10

(4x-4y+1)^2+2(2x-3)^2=19

と変形すると、
4x-4y+1=±1
2x-3=±3
これを解けば、自然数x,yの組み合わせは(x,y)=(3,3)のみです。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/08/15 17:22

3x^2-4xy+2y^2-2x-y=0　⇒　3x^2-2x(2y+1)+2y^2-y=0　⇒　x=[2y+1±√(1+7y-2y^2)]/3

ルートの中が平方数にならない限り因数分解はできない。

D=1+7y-2y^2≧0が必要。　⇒　(7-√57)/4≦ｙ≦(7+√57)/4　⇒　ｙ=0,1,2,3

y=0　⇒　D=1　⇒　x=[1±1]/3　⇒　整数になるのは　ｘ=0

y=1　⇒　D=6　⇒　xは整数にならない

y=2　⇒　D=7　⇒　xは整数にならない

y=3　⇒　D=4　⇒　x＝[7±2]/3　⇒　整数になるのは　ｘ=3


答え

(x,y)=(0,0),(3,3)