解き方と答えを教えてください。

漸化式　a[n+2]=8a[n+1]-15a[n] , a[1]=1 , a[2]=2 の一般項を求めよ。

※[]の中はaにくっついている小さい文字

バカなので細かく教えてくれると嬉しいです。お願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/09/17 13:25

３項間の漸化式になるわけですが、

もし、
a[n+2]=8a[n+1]-15a[n]　・・・・・（Ａ）が、
a[n+2]-pa[n+1]=q(a[n+1]-pa[n])　・・・・・（Ｂ）
と、式変形ができれば、
b[n]=a[n+1]-pa[n]
とおくと、（Ｂ） は、
b[n+1]=qb[n]
となり、数列 {b[n]} は、初項 b[1]、公比 q の等比数列になり、一般項は、
b[n]=b[1]q^(n-1)
になります。

では、 （Ａ） の式をどのようにして （Ｂ） の式にする（p、q の値をどのようにして求める）かですが、
（Ａ） の式を
a[n+2]-8a[n+1]+15a[n]=0
と変形して、 ２次方程式
x^2-8x+15=0
を解くと、
(x-3)(x-5)=0
x=3、 5
となります。
この、３、５ が、p、q の値になります。

すると、 （Ａ） は、
p=3、q=5 のとき、
a[n+2]-3a[n+1]=5(a[n+1]-3a[n])　・・・・・（Ｃ）
と式変形ができ、b[n]=a[n+1]-3a[n] とおくと、
b[n+1]=5b[n]
となり、{b[n]} は、初項 b[1]=a[2]-3a[1]=2-3=-1、公比 5 の等比数列になり、一般項は、
b[n]=(-1)×5^(n-1)=-5^(n-1)
になります。

また、
p=5、q=3 のとき、
a[n+2]-5a[n+1]=3(a[n+1]-5a[n])　・・・・・（Ｄ）
と式変形ができ、b[n]=a[n+1]-5a[n] とおくと、
b[n+1]=3b[n]
となり、{b[n]} は、初項 b[1]=a[2]-5a[1]=2-5=-3、公比 3 の等比数列になり、一般項は、
b[n]=(-3)×3^(n-1)=-3^n
になります。

実際に、問題を解くときは、 b[n] に直さずに、 a[n] のままで解きます。

（Ｃ） を式変形すると、
a[n+2]-3a[n+1]=5(a[n+1]-3a[n])
a[n+2]-3a[n+1]=5a[n+1]-15a[n]
a[n+2]=8a[n+1]-15a[n]
となり、 （Ａ） と一致します。

また、 （Ｄ） を式変形をすると、
a[n+2]-5a[n+1]=3(a[n+1]-5a[n])
a[n+2]-5a[n+1]=3a[n+1]-15a[n]
a[n+2]=8a[n+1]-15a[n]
となり、これも （Ａ） と一致します。

このことから、 （Ｂ） の式の作る（p、q の値を求める）方法が、
２次方程式を解くことになります。

もし、解と係数の関係　を覚えていれば、
a[n+2]-pa[n+1]=q(a[n+1]-pa[n])　・・・・・（Ｂ）
を式変形すると、
a[n+2]-pa[n+1]=qa[n+1]-pqa[n]
a[n+2]=(p+q)a[n+1]-pqa[n]
となり、これが、 （Ａ） と一致すればよいから、
係数を比較して、
p+q=8、 pq=15
p、q は、 x の２次方程式
x^2-8x+15=0
解になる。よって、
(x-3)(x-5)=0
x=3、 5
したがって、
p=3、 q=5　または　p=5、 q=3
となります。

解答ですが、

a[n+2]=8a[n+1]-15a[n]　・・・・・（Ａ）
より、
a[n+2]-8a[n+1]+15a[n]=0
２次方程式
x^2-8x+15=0
を解くと、
(x-3)(x-5)=0
x=3、 5

これより、 （Ａ） は、
a[n+2]-3a[n+1]=5(a[n+1]-3a[n])
と変形でき、 数列 {a[n+1]-3a[n]} は、
初項　a[2]-3a[n]=2-3･1=2-3=-1
公比　5
の等比数列だから、
a[n+1]-3a[n]=(-1)×5^(n-1)=-5^(n-1)　・・・・・①

また、 （Ａ） は、
a[n+2]-5a[n+1]=3(a[n+1]-5a[n])
と変形でき、 数列 {a[n+1]-5a[n]} は、
初項　a[2]-5a[n]=2-5･1=2-5=-3
公比　3
の等比数列だから、
a[n+1]-5a[n]=(-3)×3^(n-1)=-3^n　・・・・・②

① - ② より
2a[n]=-5^(n-1)+3^n
a[n]={-5^(n-1)+3^n}/2={3^n-5^(n-1)}/2

になります。

この回答へのお礼

細かくわかりやすい回答ありがとうございます！

お礼日時：2015/09/17 13:52

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/09/16 19:26

a[n+2]=8a[n+1]-15a[n] , a[1]=1 , a[2]=2 の一般項

a[n] = (3/2)・3^(n-1)－(1/2)・5^(n-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2015/09/16 20:17