高校数学、条件付き確率

（問題）
（１）太郎が先に１つの箱を選び、次に花子が残りから１つ選ぶ。このとき、花子が当たりの箱を選ぶ確率を求めよ。
（２）太郎が先に１つの箱を選んでまだ開けないうちにどれにあたりくじが入っているかを知らない司会者が別の箱を１つ開けたところはずれであった。このとき、太郎の箱が当たりである確率は何か？また、残り２つの箱から花子が当たりの箱を選ぶ確率は何か？
（３）太郎が先に１つの箱を選んでまだ開けないうちにどれにあたりくじが入っているかを知っている司会者が別の箱を１つ開けたところはずれであった。このとき、太郎の箱が当たりである確率は何か？また、残り２つの箱から花子が当たりの箱を選ぶ確率は何か？
（疑問）
自分が最初に解いたときは（２）を
太郎が開ける可能性があるのははずれの箱１つ、あたりの箱２つの３通りのうち当たりは２通りであり、
太郎があたりを開ける確率は２/3.
同様のことが花子の場合にも成り立つから花子の場合も2/3.
と解いて合っていました。
しかし、（２）と（３）が同じ確率で、違いがよくわからなかったので、解答を読んだところ、
（３）当たり外れのくじをＡ１Ａ２Ｈ１Ｈ２とおく。
太郎が当てる確率は（太郎,司会者）とすると、引くくじは（A1H1)(A2H1)(H2H1)(H1H2)のうち前２つであり、1/2.
花子が当てる確率は上の４つについて花子の選び方がそれぞれ２通りずつで、そのうち当たるものは前の２つが１通りずつ、後の２つが２つずつであり、3/4.
（２）も
太郎が当たる確率は４つの異なる箱から２つ取って並べるときに、２番目にはずれが来るもののうち、１番目にあたりが来る確率２×２/2×３＝2/3
花子が当たる確率は４つの異なり箱から３つをとって並べるときに２番目にははずれのどちらが来るうちの最後にあたりが来る確率で、2×２×２/２×３×２＝2/3
（疑問）
（２）（３）ともに条件付き確率であり、全事象に与えられた情報を加味した場合の数を持ってくるというのは理解し、解き方については納得したのですが、
＜１＞（３）について自分の解いたように解くことはできないのでしょうか？
＜２＞直感的になぜ（２）と（３）で結果が異なるようなことが起こるのかが分かりません。
＜３＞参考書には、司会者が確信をもってはずれを引いたのですから、太郎が持っている箱にあたりがある確率よりも残る箱にあたりがある確率が高くなるのは当然と言える。との説明があるのですが、よくわかりません。

質問者からの補足コメント

• 

  申し訳ございません。
  箱は全部で４つ、当たり箱が２つ、はずれ箱が２つです。

    補足日時：2015/10/13 11:12

• 

  回答ありがとうございます。少し間が空いてしまい申し訳ございません。
  教科書と問題集をもう一度読み直して、ＮＯ３さんの質問を考えました。
  （その２）→（その１）と答えます。
  （その２）（自分自身で事象をきちんとおいて解きなおしました）
  （方針①：確率の積で時系列順に確率を求めて、条件付き確率を確率の商で求める）
  太郎があたりを引くという事象をＡ，司会者がはずれを引くという事象をＢ，花子があたりを引くという事象をＣとする。
  （２）当たり外れの個数の変遷を流れ図で表した。
  Ｐ（Ｂ）＝2/4×2/3＋2/4×1/3＝1/2
  Ｐ（ＢかつＡ）＝2/4×2/3=1/3
  ゆえに、Ｐ（Ｂ|Ａ、司会者がはずれを引いたとき、太郎があたりを引く確率）＝P(ＢかつＡ）/
  Ｐ（Ｂ）=2/３
  Ｐ（BかつＣ）＝2/4×２/3×１/２＋2/4×1/3×１＝1/3より、Ｐ（Ｂ|Ｃ）＝Ｐ（BかつＣ）/Ｐ（Ｂ）＝2/３
  （続く）

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/15 18:37

• 

  (3)
  Ｐ（Ｂ）＝１、Ｐ（ＡかつＢ）＝2/4より、Ｐ（Ｂ|Ａ）＝1/2
  P(ＢかつＣ）＝2/4かける１かける１/2+2/4かける１かける１＝3/4
  Ｐ（Ｂ|Ｃ）＝3/4
  (方針②:場合の数の商で求める）
  当たりくじをＡ１、Ａ２，はずれくじをＨ１，Ｈ２とする。太郎、司会者、花子のくじを(,,)で表す。
  （１）くじの引き方は4かける３かける２とおりであり、このうち太郎が当たるものは２かける３かける２とおりで1/2.花子の場合も同様。
  （２）n(B)は司会者のはずれくじの選び方が２とおり、太郎、花子のくじも考えて2かける３かける２とおり。n(ＡかつＢ）は司会者のはずれくじの選び方が２とおり、太郎の当たりくじの選び方が２通り、花子のくじの選び方が２とおりで、
  P(B|Ａ）＝2/3.ｎ(BかつＣ）もｎ（ＡかつＢ）と同様であり、Ｐ（Ｂ|Ｃ）＝2/3.
  (続く）

    補足日時：2015/10/15 18:48

• 

  （３）
  n(B)について、太郎と司会者のくじの引き方は（A1,H1)(A2,H1)(H1,H2)(H2,H1)のいずれかであり、花子のくじの引き方はそれぞれについて２とおりであり、n(B)=４かける２
  n(ＡかつＢ）上のうち（Ａ１,H1)(A2,H2)のものであり、n(ＡかつＢ）＝２かける２．
  よって、Ｐ（Ｂ|Ａ）＝1/2.
  n(ＢかつＣ）について、上の４通りについて花子があたりのものはn(BかつＣ）＝１＋１＋２＋２＝６
  Ｐ（Ｂ|Ｃ）＝3/4.
  （１つ目）
  方針２において、n(B)を考える際、n(B)は起こりうるすべての場合の数をカウントするが、司会者がくじの中身を知っていて、はずれくじを引いたのだから、同じ型（太郎があたり、司会者が外れる）では１つのみとするべきであるから。
  事象をきちんと設定することで、解きやすくなりましたが、直感的に（２）と（３）で確率が下がるというのがピンときません

    補足日時：2015/10/15 19:02

• 

  この問題に関連している話題として、モンティホールの問題があるそうです。
  （問題）プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会者（モンティ）が残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
  ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
  （自分の考え）
  プレーヤーが当たりを引くという事象をＡ、司会者がはずれを引くという事象をＢとする。
  Ｐ（Ａ）３つのくじから１つの当たりくじを引く確率で1/3.
  Ｐ（Ｂ）＝１．P(B|Ａ）＝1/3.より、残った１つの箱に入っている確率はＰ（Ｂ|Ａでない）＝2/3。
  （続く）

    補足日時：2015/10/17 14:54

• よって、残り１つの箱を選びなおしたほうがよい。と考えたのですが、どうでしょうか？
  また本問の（３）ではＰ（Ｂ|Ａ）＝1/2ですから、選びなおそうとそのままだろうとどちらでも同じだという結論になるのでしょうか？

    補足日時：2015/10/17 14:57

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/21 20:42

ANO7 (2) ４行目

＞この場合あり得る全ての場合から司会者がはずれを引くパターンを除外して考えます。

タイポです。申し訳ない。

この場合あり得る全ての場合から司会者が **あたり** を引くパターンを除外して考えます。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/21 20:39

この問題の肝は、時系列的に後で得た情報が、先に行った事象の確率に影響を与えないということでしょうか。

(1)
太郎があたりの確率は 1/2、このとき花子の当たる確率は 1/3 合わせて、組み合わせの確率は =1/6
太郎がはずれの確率は 1/2、このとき花子の当たる確率は 2/3 合わせて、組み合わせの確率は =2/6

合わせて花子があたりを引く確率は 1/6 + 2/6 = 1/2

(2)
太郎があたりの確率は=1/2 は変わりませんが
この場合、司会者があたりを引いたときはノーカウントという条件です。

つまりこれは「司会者がはずれの場合の条件付き確率を求めよ」という問題です。

この場合あり得る全ての場合から司会者がはずれを引くパターンを除外して考えます。

太郎と司会者が引く場合の数は、12パターン(=4P2)
このうち、司会者があたりのパターンをノーカウントにすると、
6パターン(太郎があたり2パターン、太郎がはずれ4パターン)を削ることになるので
太郎の勝率が上がります。

太郎があたりの確率 = (6-2)/(12-6) = 4/6 = 2/3 -> 太郎がはずれの確率 = 1/3

太郎があたりの場合の花子のあたりの確率は、あたりとはずれが一本づつ引かれた後なので 1/2
太郎がはずれのの場合の花子のあたりの確率は、はずれが２本引かれた後なので 1

従って、花子が当たる確率は 2/3 x 1/2 + 1/3 x 1 = 4/6 = 2/3


(3)
太郎があたりの確率は=1/2 は変わりませんが
この場合、司会者は必ず、確率100%ではずれを引きますので、これは
条件付き確率を求める問題ではありません。行われた試行全てて確率を考えます。

太郎があたりの確率は 1/2、このとき、花子が当たる確率は1/2 組み合わせて 1/4
太郎がはずれの確率は 1/2、このとき、花子が当たる確率は 1 組み合わせて 1/2

花子があたりを引く確率は 1/4 + 1/2 = = 3/4

ちなみに、モンティホールは (3) のパターンですね。司会者の行動は100%引くことなので
条件付き確率は不要です。

プレーヤが最初にひいたときに当たっている確率は 1/3。外れている確率は 2/3
残りの操作はあたりとはずれを入れ替えるだけの操作ですから、

入れ替えないなら
当たっている確率は 1/3。外れている確率は 2/3
入れ替えるなら
当たっている確率は 2/3。外れている確率は 1/3

です。

No.6 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/18 20:48

この問題に関連している話題として、モンティホールの問題があるそうです。

【　モンティホールの問題　】　とういのが、あるのですか・・・？
この質問の問題を見たとき、
『　新婚さんいらっしゃい！　』　というテレビ番組を見た人が問題を考えたのかと思いましたが・・・


（問題）プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。
プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会者（モンティ）が残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
（自分の考え）
プレーヤーが当たりを引くという事象をＡ、司会者がはずれを引くという事象をＢとする。
Ｐ（Ａ）３つのくじから１つの当たりくじを引く確率で1/3.
Ｐ（Ｂ）＝１．P(B|Ａ）＝1/3.より、残った１つの箱に入っている確率はＰ（Ｂ|Ａでない）＝2/3
よって、残り１つの箱を選びなおしたほうがよい。と考えたのですが、どうでしょうか？

　　↓↓↓　

数学の、　条件付き確率を使って解く問題　だと思うので、
この考え方でいいと思います。


また本問の（３）ではＰ（Ｂ|Ａ）＝1/2ですから、選びなおそうとそのままだろうとどちらでも同じだという結論になるのでしょうか？

　　↓↓↓　

（３）
n(B)について、太郎と司会者のくじの引き方は（A1,H1)(A2,H1)(H1,H2)(H2,H1)のいずれかであり、花子のくじの引き方はそれぞれについて２とおりであり、n(B)=４かける２
n(ＡかつＢ）上のうち（Ａ１,H1)(A2,H2)のものであり、n(ＡかつＢ）＝２かける２．
よって、Ｐ（Ｂ|Ａ）＝1/2.

のことでしょうか？
これだと、あたりが　A1　と　A2　の　２個　あることになりますが・・・。

No.5 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/18 02:51

モンティホールの話があったのでそれだけを

ベイズ推定(条件付き確率)で話しても良いですが、回数で話すほうが分かりやすいので回数にします(正確には例えば確率1/3の物を30回やっても10回当たるとは限りませんが、そこは計算の話なので無視して下さい)

プレイヤー(太郎)がAの扉を選んだとします
そこで、司会者(モンティ)がBの扉をハズレとして開けたとします
正解はAかCがどちらの可能性が高いでしょう？
というのが、モンティホールですね

Aが当たりで司会者がBの扉を開ける確率は
1/3*1/2=1/6です
つまり、6回ゲームをやったら1回起きます

Bが当たりの場合は司会者がBの扉を開けないので略
(この時はCを開けます)

Cが当たりの場合は必ずBを開けます
つまり確率は1/3*1=1/3です
6回ゲームをやったら2回起きます

つまり、6回ひたすらAの扉を開け続けるとすると、
Aが当たりなのでBを開くのは1回
Aが当たりなのでCを開くのは1回
Bが当たりなのでCを開くのは2回
Cが当たりなのでBを開くのは2回
となります

こうやって見ると、Bの扉が開いているのはAが当たりの時より、Cが当たりの時の方が多いです
だから、AからCに回答を変えた方が有利だ！というのがモンティホールです

確率で考えるなら、当たりを引く確率というより選んだ扉(i)が当たりの事象をA、司会者がある扉(ii)を開く事象をB、iでもiiでもない扉が正解の事象をCとするのだと思います(ACとBが同列でないので気持ち悪いですが)
(本当はすべての確率はiを選んだという条件付き確率になります)
P(B｜A)=1/2
P(B｜C)=1

P(A｜B)=P(B｜A)*P(A)/P(B)=1/2*1/3 /P(B)
P(C｜B)=P(B｜C)*P(C)/P(B)=1*1/3 / P(B)
よって、Cの方が2倍大きい、もしくはP(B)=1/2なので、Aの確率1/3, Cの確率2/3となります

No.4 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/15 21:13

条件付き確率の式を使えば、きちんと解けるわけですが、

はじめの疑問

＜１＞（３）について自分の解いたように解くことはできないのでしょうか？
＜２＞直感的になぜ（２）と（３）で結果が異なるようなことが起こるのかが分かりません。
＜３＞参考書には、司会者が確信をもってはずれを引いたのですから、太郎が持っている箱にあたりがある確率よりも残る箱にあたりがある確率が高くなるのは当然と言える。との説明があるのですが、よくわかりません。

　　　↓↓↓

＜１＞、＜２＞　に関しては、司会者がはずれの箱を選ぶ確率が異なるから

＜３＞　に関しては、さらに、司会者のはずれの箱を選ぶ確率が高くなった、（　1/2　から　1　に　）
　　　　言い換えると、司会者の当たりの箱を選ぶ確率が低くなったから、
　　　　残りの箱に、より当たりがある確率が高くなることになります。
　　　　これから、すでに、箱を選んだ太郎の当たりの箱を選ぶ確率が低くなるのではないでしょうか。


補足　にある、

（１つ目）
方針２において、n(B)を考える際、n(B)は起こりうるすべての場合の数をカウントするが、
司会者がくじの中身を知っていて、はずれくじを引いたのだから、
同じ型（太郎があたり、司会者が外れる）では１つのみとするべきであるから。
事象をきちんと設定することで、解きやすくなりましたが、直感的に（２）と（３）で確率が下がるというのがピンときません

　　↓↓↓

○　同じ型（太郎があたり、司会者が外れる）では１つのみとするべきであるから。

　　は、　このように解釈するしかないと思います。


○　事象をきちんと設定することで、解きやすくなりましたが、直感的に（２）と（３）で確率が下がるというのがピンときません

　　は、　太郎の当たりの箱を選ぶ確率が低くなるのは、上の　＜３＞　の説明になるかと思います。
　　花子の方は、司会者がはずれの箱を選ぶので、当たりの箱が残る確率が高くなり、当たりの箱を選ぶ確率が高くなります。


太郎の当たりの箱を選ぶ確率が低くなる理由ですが、
他の考え方をするとすれば、

【　同じ型（太郎があたり、司会者が外れる）では１つのみとするべきであるから。　】
ということは、太郎と司会者の２人に関しては、
『　分母　』　と　『　分子　』　の数が　『　同じ数　』　だけ　《　少なく　》　なります。

ある確率を
b/a　とします。当然、　b/a<1　ですね。
両辺を　a 倍して
b<a　です。

分母と分子から、それぞれ　n　を引いた確率　(b－n)/(a－n)　を考えます。（ただし、a>n、b>n　です）
このとき、
(b/a)－{(b－n)/(a－n)}
＝{b(a－n)－a(b－n)}/{a(a－n)}
＝(ab－bn－ab＋an)/{a(a－n)}
＝(an－bn)/{a(a－n)}
＝{n(a－b)}/{a(a－n)}>0　(　∵　b<a　)
したがって、
b/a>(b－n)/(a－n)
が成り立ちます。

これから、太郎の当たりの箱を選ぶ確率が、低くなる　と考えることはできるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

理解しました。ありがとうございます。

お礼日時：2015/10/17 14:44

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/13 18:18

意地悪な質問をしますが・・・。

１つ目
（３）当たり外れのくじをＡ１Ａ２Ｈ１Ｈ２とおく。
太郎が当てる確率は（太郎,司会者）とすると、引くくじは（A1H1)(A2H1)(H2H1)(H1H2)のうち前２つであり、1/2.
花子が当てる確率は上の４つについて花子の選び方がそれぞれ２通りずつで、そのうち当たるものは前の２つが１通りずつ、後の２つが２つずつであり、3/4.

ですが、
（A1H2)(A2H2)　が含まれていないことは理解（納得）されているのでしょうか？
（理解（納得）されていたら、疑問を感じることはないと思いますが・・・）


２つ目
Ａが起こったとしてＢの起こる条件付き確率
Ｐ[A](Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)　（　⇦　Ａ　が小さく書けないので　[A]　と書きました　）
を用いて、この問題を解くことはできるのでしょうか？
（２）　と　（３）　の式が異なるので、式をつくるときに、３つの疑問が解消されるのでは・・・。

疑問の回答ですが、
（２）は、司会者が、『　当たりくじの入った箱　』　を選ぶ場合も考えれますが、
（３）は、司会者が、『　当たりくじの入った箱　』　を選ぶ場合は考えられない、　必ず、『　はずれくじの入った箱　』　を選ぶ。
ということではないでしょうか。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/13 09:16

No.1です。

この問題は、（３）の司会者の行動がポイントですが、「司会者が当たりを引いても面白くないので、中身を知っている司会者は必ずはずれを引く」「司会者は当たりかはずれか、いずれを引くかを前もって決めていた」といったルールが、問題の中に示されているかどうかがポイントかと思います。
司会者が「その場でどれを引いてもよい」という条件なら、中身を知らない（２）と同じになって、（３）の解き方は変わるでしょうから。

さらに言えば、「司会者は、太郎と同じものを引く」「司会者は、太郎と逆のものを引く」がルールだったとすれば、司会者が引いた時点で太郎の「当たり、はずれ」は確定します。

司会者の行動ルールを示さずに「司会者が確信をもってはずれを引いたのですから～」と説明するのは、論理的ではないと思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/13 08:48

「箱が全部でいくつあって」「そのうち当たりがいくつか」といった条件を書かないと、問題は解けません。

途中の文章で何となく想像はつきますが、回答者の無用な混乱を避け、きちんとした回答が得たいのなら、問題を正確に書くのが先決でしょう。