{0} は数ですか？

数といえば、普通は、自然数から始めて、整数、実数、などと拡張します。
これを逆方向に考え、０だけの集合{0} も数と言うのでしょうか？

四則演算を定義するなら、
　０＋０＝０、０－０＝０
　０×０＝０、０÷０＝０
とすれば良いのですよね？

質問者からの補足コメント

• 質問の仕方が悪かったのかも知れません。
  {0,1,2,3,...} は自然数の集合と呼びますが、
  それと同じように {0} が数の集合と呼べるか、という質問です。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/29 23:32

No.5 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/10/30 11:56

実際には、「数」とは何を示すのかという議論が必要ではありますが。

まず、質問にあるように、四則を定義してしまっては、「拡張を逆に考えた」という意味では、「数」にはならないです。
というのは、「０÷０＝０」を、自然数に、「自然に拡張」できないからです。
数の集合を拡張する手続きでは、例えば、有理数を考えた場合、その「部分集合である整数」は、もともとの「整数を定義したとき」の四則がそのまま適用できなければなりません。

一方で、数を考える場合、加法と乗法についてだけ閉じていれば良いので、その意味では、「数」と言えるでしょう。
回答にあるゼロ環などは、数の集合と言えないこともありません。
これは、「数とは加法と乗法が定義可能な集合の要素」という定義を与えた場合です。
※この定義は、日常的な「数」を包含している点に注意してください。

この回答へのお礼

後半の話では、「数」と言えなくもない、ということですね。

でも前半を読むと、「自然に拡張」という関係ではないと。

一つ疑問が残るのですが、「自然に拡張」できないのは何が理由ですか？
「０÷０＝０」の定義は、乗法の定義と乗法の逆元の定義に分けられ、
それらもまた別の定義と関連してると思うのですが、
結局どこが原因になっていると思いますか？

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 17:18

No.4 回答者： qexby 回答日時： 2015/10/30 01:57

零環（と同型）だと思います。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E7%92%B0

この回答へのお礼

その通りですね。
「乗法に関する逆元は自分自身である」となってるから、
逆元を掛けること、すなわち割り算も定義可能と考えます。

私の疑問は、それを「数」や「数の集合」と言ったりするのか、ということです。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 08:50

No.3 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/10/29 22:49

数学的に言うと

lim（ｘ→＋０）１／ｘを考えると＋無限大になります。
lim（ｘ→ー０）１／ｘを考えるとー無限大になります。
ココでｙが無限に近い０だとかんがえると
lim（ｘ→＋０）ｙ／ｘを考えると＋無限大になります。
lim（ｘ→ー０）ｙ／ｘを考えるとー無限大になります。
ですから０÷０がいくつと決定できないのです。
　小学校で考えると
０個のお菓子を０人で分けると言うことはあり得ないのです。

この回答へのお礼

｛０｝という集合で考えているのに、
＞lim（ｘ→＋０）１／ｘ
という式で１を使ってる時点で理解できません。

割り算は掛け算の逆演算として考えれば、
掛け算の結果が０となるのは０を掛けた場合だけなので、
割り算の結果は０だと思いますけど。

分けると考えて、０から０が何回引けるかという考え方は、
｛０｝ではその回数を数えることができませんね。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/29 23:06

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2015/10/29 22:45

The THEORY of SETD and TRANSFINIT ARITHMETIC

Alexander Abian
の
p104
によれば、
１＝{0}
となっています。
空集合から自然数を作る立場なら、数であり、
自然数の1を表すということになります。

この回答へのお礼

補足に示したように、「数」と「数の集合」を明確に区別すべきだったかも知れません。

自然数などは加算や乗算に対して閉じていますが、
{0} も同様なので、”同じ”なのでしょうか？

お礼日時：2015/10/29 23:52

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/10/29 22:13

０÷０はありません。

ゼロの概念はインドで作られたそうですが、これが世界に普及するまでには何百年も掛かったそうです。
元小学校の教師ですので０を教えるのは苦労しました。
　１年生なら１０個の○を書いて１個ずつ消していきました。最後に１個から１個取った時に０を教えました。
　毎日１００の漢字を書く宿題があるとして毎日宿題をした子は１年間に３６５００の漢字を書くことになりますが、全く宿題をしなかった子は１００×０＝０だと教えましたね。
そんな意味で毎日努力することが大切なことだと教えました。
　整数の集合を考えると、その中に｛０｝と言う集合があります。

この回答へのお礼

＞０÷０はありません。
理由が書かれてないので、理解できません。

＞整数の集合を考えると、その中に｛０｝と言う集合があります。
部分集合のことですね。

…結局、聞いたことへの回答は無しですか？

お礼日時：2015/10/29 22:33