{0} は数ですか？

数といえば、普通は、自然数から始めて、整数、実数、などと拡張します。
これを逆方向に考え、０だけの集合{0} も数と言うのでしょうか？

四則演算を定義するなら、
　０＋０＝０、０－０＝０
　０×０＝０、０÷０＝０
とすれば良いのですよね？

質問者からの補足コメント

• 質問の仕方が悪かったのかも知れません。
  {0,1,2,3,...} は自然数の集合と呼びますが、
  それと同じように {0} が数の集合と呼べるか、という質問です。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/29 23:32

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/10/29 22:13

０÷０はありません。

ゼロの概念はインドで作られたそうですが、これが世界に普及するまでには何百年も掛かったそうです。
元小学校の教師ですので０を教えるのは苦労しました。
　１年生なら１０個の○を書いて１個ずつ消していきました。最後に１個から１個取った時に０を教えました。
　毎日１００の漢字を書く宿題があるとして毎日宿題をした子は１年間に３６５００の漢字を書くことになりますが、全く宿題をしなかった子は１００×０＝０だと教えましたね。
そんな意味で毎日努力することが大切なことだと教えました。
　整数の集合を考えると、その中に｛０｝と言う集合があります。

この回答へのお礼

＞０÷０はありません。
理由が書かれてないので、理解できません。

＞整数の集合を考えると、その中に｛０｝と言う集合があります。
部分集合のことですね。

…結局、聞いたことへの回答は無しですか？

お礼日時：2015/10/29 22:33

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2015/10/29 22:45

The THEORY of SETD and TRANSFINIT ARITHMETIC

Alexander Abian
の
p104
によれば、
１＝{0}
となっています。
空集合から自然数を作る立場なら、数であり、
自然数の1を表すということになります。

この回答へのお礼

補足に示したように、「数」と「数の集合」を明確に区別すべきだったかも知れません。

自然数などは加算や乗算に対して閉じていますが、
{0} も同様なので、”同じ”なのでしょうか？

お礼日時：2015/10/29 23:52

No.3 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/10/29 22:49

数学的に言うと

lim（ｘ→＋０）１／ｘを考えると＋無限大になります。
lim（ｘ→ー０）１／ｘを考えるとー無限大になります。
ココでｙが無限に近い０だとかんがえると
lim（ｘ→＋０）ｙ／ｘを考えると＋無限大になります。
lim（ｘ→ー０）ｙ／ｘを考えるとー無限大になります。
ですから０÷０がいくつと決定できないのです。
　小学校で考えると
０個のお菓子を０人で分けると言うことはあり得ないのです。

この回答へのお礼

｛０｝という集合で考えているのに、
＞lim（ｘ→＋０）１／ｘ
という式で１を使ってる時点で理解できません。

割り算は掛け算の逆演算として考えれば、
掛け算の結果が０となるのは０を掛けた場合だけなので、
割り算の結果は０だと思いますけど。

分けると考えて、０から０が何回引けるかという考え方は、
｛０｝ではその回数を数えることができませんね。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/29 23:06

No.4 回答者： qexby 回答日時： 2015/10/30 01:57

零環（と同型）だと思います。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E7%92%B0

この回答へのお礼

その通りですね。
「乗法に関する逆元は自分自身である」となってるから、
逆元を掛けること、すなわち割り算も定義可能と考えます。

私の疑問は、それを「数」や「数の集合」と言ったりするのか、ということです。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 08:50

No.5 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/10/30 11:56

実際には、「数」とは何を示すのかという議論が必要ではありますが。

まず、質問にあるように、四則を定義してしまっては、「拡張を逆に考えた」という意味では、「数」にはならないです。
というのは、「０÷０＝０」を、自然数に、「自然に拡張」できないからです。
数の集合を拡張する手続きでは、例えば、有理数を考えた場合、その「部分集合である整数」は、もともとの「整数を定義したとき」の四則がそのまま適用できなければなりません。

一方で、数を考える場合、加法と乗法についてだけ閉じていれば良いので、その意味では、「数」と言えるでしょう。
回答にあるゼロ環などは、数の集合と言えないこともありません。
これは、「数とは加法と乗法が定義可能な集合の要素」という定義を与えた場合です。
※この定義は、日常的な「数」を包含している点に注意してください。

この回答へのお礼

後半の話では、「数」と言えなくもない、ということですね。

でも前半を読むと、「自然に拡張」という関係ではないと。

一つ疑問が残るのですが、「自然に拡張」できないのは何が理由ですか？
「０÷０＝０」の定義は、乗法の定義と乗法の逆元の定義に分けられ、
それらもまた別の定義と関連してると思うのですが、
結局どこが原因になっていると思いますか？

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 17:18

No.6 回答者： qexby 回答日時： 2015/10/30 12:36

> 「乗法に関する逆元は自分自身である」となってるから、

> 逆元を掛けること、すなわち割り算も定義可能と考えます。

ていうか、作れる２項演算はｘ△ｙ＝０（と空の２つ？）しかないです。
部分代数と思うのなら演算は元の演算の制限です。

この回答へのお礼

演算を制限すべきと受け取りました。
元の概念をなるべくそのまま持ってきたらそうなったのであって、
私には「０÷０＝０」を定義したことに何の意図もありません。

部分代数だから制限される、というのは、今一つ納得できません。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 17:46

No.7 回答者： uyama33 回答日時： 2015/10/30 16:56

０からなる集合ですから、数の集合とはいえますが、

自然数などと同様の、何種類かの演算に関して閉じている数の集合（代数系）

と呼ぶのは、適当とは思えません。

理由は次のとおりです。

演算は
0△0＝０
の三角の部分を変えただけですから、
S*S→S
の写像としての区別が付きません。
どれも、
(0,0)→0
です。

記号が違うから違う演算だということならば、
三角の部分を異なる記号にすれば何千種類もの演算が定義できてしまいます。
でも、内容は一つの写像に過ぎません。

四則演算は、それぞれ特徴があるから別の演算として区別されますが、
内容的に区別されない演算をいくつ作っても無意味だと考えます。

数（代数系）というからには、
せめて、内容的にも異なる演算が、2種類（+、-）か3種類（+、-、*）は欲しいと思います。

数らしさ（代数系らしさ）が足りないと感じます。

この回答へのお礼

自然数は、加法と乗法が定義されてるから「数」なのですか？
０、１、２の定義には、乗法が使われていません。
それでも、既に「数」と言えると思います。

お礼日時：2015/10/30 18:15

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/30 17:55

「数」という語に明確な定義はない。

ただ、ある代数系を「数っぽいイメージ」で扱いたい時に、その代数系を「◯◯数」のように命名して定義を与えることが行われます。ですからご質問の代数系<{0}, +, - , ×, ÷>も、これをたとえば"fusem23数"と命名なさったとすれば、その事に特に誰も異論はないでしょう。

この回答へのお礼

数学における「数」の定義を教えてくれ、という質問ではないです。
｛０｝を「数の集合」だと言った時に、多くの人が違和感を持つのかどうか、
そしてどこに違和感を持つのかが分かれば良いです。

多くの人が違和感を持ち、それを解消できない見込みであれば、
敢えて「数」だと言う必要はないですから。

ただ、この集合を表す時０という記号を使うことが多いから、
それは「数」と思って使っているのかな？という疑問が出たのです。

あなたが「数」と思うかどうかを答えてください。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 18:38

No.9 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/10/30 18:22

No.5 です。

「自然に拡張できない」について、まず、「自然な拡張」を見てみましょう。

整数では、「1 + 1 = 2」です。
これを拡張して有理数を作った場合、有理数の部分集合（例えば、分母が1のもの）は、整数と同一視できます。

有理数では、1/1 + 1/1 = 2/1 という計算結果になりますが、これを、同一視した整数の世界では、1/1 は 1 と、2/1 は、2 とそれぞれ同一視できますから、この式は、整数の世界での、1 + 1 = 2 という結果を変更しません。

これは、整数の加法が有理数の加法に「自然に拡張」できている例です。

一方、有理数の世界では、0÷0は「不定」ということで、定義できません。
つまり、「0だけの世界」で、0÷0が定義できたとしても（不定ではあるが、元が0しかないので、たまたま、答を決められますね）、それを拡張したはずの有理数では、（０と同一視できる有理数の元が存在するのにもかかわらず）0÷0が定義できない。
つまり、「ゼロだけの世界」で有効な計算が、それより拡張された世界では「計算できない」ということになってしまうのです。

ですから、0÷0を、例えば、有理数に「自然に拡張」することはできないわけです。

※ちなみに、加法と乗法だけを定義すれば、「自然に拡張」することができます。
有理数の正解でも、0×0＝0であり、0＋0＝0だからです。

回答の中に「ゼロ環」という言葉がありますが、この、「環（かん）」は、「加法と乗法」が定義されている世界です。
四則演算まで拡張した世界は、「体（たい）」という世界になります。

自然数の世界は減法と除法に対して、整数の世界は除法に対して、それぞれ閉じてないので、自然数や整数は、「環」であり、有理数は、「体」になります。

この回答へのお礼

少し誤解が発生してるようですね。
「自然に拡張」できないのは理解しています。

確認しますと、ゼロ環の元を０で表すのは違和感ないんですよね？
そして和、差の定義も問題ない。積の定義も問題ない。
加法と乗法は、まとめて群の概念になるから、
単位元や逆元という概念が出てくるのは当然で、それらは存在するから、
加法や乗法の逆演算も存在する。
でも、こうやって出てきた「０÷０＝０」に、皆さんは違和感を抱かずにはいられない。
…あれ？どこで間違ったんだろう？どの段階で違和感が生じたんだろう？
というのがNo.5で示した疑問です。

お礼日時：2015/10/30 19:22

No.10 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/30 21:07

ANo.8へのコメントについてです。

> ｛０｝を「数の集合」だと言った時に、多くの人が違和感を持つのかどうか、
> そしてどこに違和感を持つのかが分かれば良いです。

　集合｛０｝を「数の集合」と呼ぶことには全く何の違和感もありません。たとえば、０を「自然数」だと思ったとして、実際「数の集合」と言う通り、これは幾つかの自然数だけを含む集合なのだから。
　ゆえに、ご質問の代数系を指して「数の集合」と呼ぶということについては、違和感というより、単に誤りと考えます。
　で、ご質問の代数系を数の体系だと仰るということであれば、「そう呼びたければご自由に」と思いますが、ただし「名前をつけて他の数との区別を明確にしないことには混乱の元になるよ」という保留を付けます。

この回答へのお礼

数と呼んでもいいが、自然数への「自然な拡張」ができないことを明記しておけ、ということですね。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/31 07:54