{0} は数ですか？

数といえば、普通は、自然数から始めて、整数、実数、などと拡張します。
これを逆方向に考え、０だけの集合{0} も数と言うのでしょうか？

四則演算を定義するなら、
　０＋０＝０、０－０＝０
　０×０＝０、０÷０＝０
とすれば良いのですよね？

質問者からの補足コメント

• 質問の仕方が悪かったのかも知れません。
  {0,1,2,3,...} は自然数の集合と呼びますが、
  それと同じように {0} が数の集合と呼べるか、という質問です。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/29 23:32

No.15 回答者： uyama33 回答日時： 2015/11/01 07:34

自然数に０を含めるという前提に立てば、あなたの考えは正しくて、

０を含めないという前提に立てば、あなたの考えは間違いです。
未知の条件によって真、偽となる命題は、正しいとは言えないと思います。

確かに、未知の条件では議論になりませんね。

一番の未知の条件は
四則演算を定義するなら、
　０＋０＝０、０－０＝０
　０×０＝０、０÷０＝０
とすれば良いのですよね？
の部分です。

未知の条件が多すぎます。
１：ここでの記号０は、自然数の０なのか、整数の０なのか、または有理数の０なのか。。。？

２：ここでの演算の記号4個は、有理数に対して定義される演算と同じなのか、
　　あるいは、体の演算での記号なのか？
　　あるいは、それらとは別の意味の記号なのか？

３：自然数は、どのように作られているという立場での議論なのか？
　　たとえば、自然数は神が創った。とか。。

議論の前提になる記号や用語についての定義が全て未知の条件になっている。

この辺をはっきりさせれば、話は簡単になるとおもいます。

この回答へのお礼

私に質問を向けてくるということは、答えられないということだと考えます。

お疲れ様でした。

お礼日時：2015/11/01 10:21

No.14 回答者： uyama33 回答日時： 2015/10/31 23:33

０、１、２の定義には、乗法が使われていません。

それでも、既に「数」と言えると思います。

と同様に、

０、１、２の定義には、加法が使われていません。
それでも、既に「数」と言えると思います。

したがって、
０の定義に加法が必要ないので、
その段階では、０が加法単位元である必要はありません。
だから、
加法が定義されていなくても０を使ってかまわないと思います。
それとも、
０の定義に加法が必要なのでしょうか？
０の定義に加法が必要になるような理論が書いてある本は見たことがありません。
あれば、書名を示していただきたいと思います。

したがって、

それに、０という記号は加法単位元という意味で使うものと思うので、
加法が定義されていないのに使うのは変です。

と言う主張には賛成できません。

この回答へのお礼

自然数には０を含める場合と含めない場合があります。
自然数を定義した人がどちらの意味で使っているか判断するには、
その後の加法の定義を見るまで分かりません。

自然数に０を含めるという前提に立てば、あなたの考えは正しくて、
０を含めないという前提に立てば、あなたの考えは間違いです。
未知の条件によって真、偽となる命題は、正しいとは言えないと思います。

お礼日時：2015/11/01 00:59

No.13 回答者： qexby 回答日時： 2015/10/31 16:39

＞ 部分代数だから制限される、というのは、今一つ納得できません。

「これを逆方向に考え」というのは「部分代数系」のことだと思います。この場合は｛０｝の０は整数の０だと思います。そして０÷０＝０は出てこないと思います。初めは０÷０＝０だったけれど自然数、整数、などと拡張するうちに忘れてしまった、という物語を追加しないと「これを逆方向に考え」た結果として０÷０＝０にはならないと思います。

リンクはwikipedia「部分代数系」です。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88% …

｛♪｝（四則演算を♪＋♪＝♪－♪＝♪×♪＝♪÷♪＝♪と定義する）の♪は音符だと思います。

この回答へのお礼

部分代数系というのは、この場合あくまで加法と乗法に対してであり、
「０÷０＝０」というのは、それに「乗法逆元を掛けることを割り算と定義する」という定義を加えた時の結果です。

あなたの答は間違ってないかも知れませんが、加法と乗法のみの段階において、部分代数系ではないと言った方が、明確になると思います。

お礼日時：2015/10/31 19:24

No.12 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/31 10:46

ANo.10へのコメントについてです。

> 自然数への「自然な拡張」ができないことを明記しておけ、

　いえいえ、そんなことは求めません。言うまでもなく明らかですし。
　ただ、「この代数系を単に「数」と呼ぶのは混乱のもとだから、ちゃんと固有の名前を与えないとね」とだけ申し上げてます。

　なお「四則演算」と仰っているのは単一の演算に４つの別名があるに過ぎない。わざわざ別名を用意するという「不経済」はちょっと不思議で、わざわざ有理数と同じ記号を流用している「思わせぶり」にもなんとなく引っかかる。にしても、ま、だからダメという訳でもなく、ひょっとしてこの体系をどう使うか（何のために用意するか）という話を聞いてみたら何らか詩的意味を持つ仕掛けだったということなのかもしれない。（実際、「自然な拡張」がどうたらという連想に誘導される人が出ているんだから、あるとすれば詩的なナニカであろうと思われます。）だから「それで？」と尋ねるしかないですね。で、その答がもし「以上、終わり」だったとすれば、「ご自由に」と応じる。

この回答へのお礼

名前はゼロ環ではないのですか？
ゼロ環に引き算や割り算という演算を付け加えたら、固有名を付けなければいけない？
それだと、平方根とか余りとか、演算を加えるたびに別名となりませんか？
そのルールはちょっと、使いにくいです。

ゼロ環は、
・０という唯一の元が定義されている
・加法と乗法が定義されている
・加法単位元と乗法単位元が存在する
・０の加法逆元と乗法逆元が存在する
ということまでは同意してくれると思います。
加法逆元を－０と表し、乗法逆元を０／０と表したとしても、
日本語を記号に置換えただけに思えます。

これに「加法逆元を加えることを引き算と定義する」「乗法逆元を掛けることを割り算と定義する」と加えると、ゼロ環と言ってはいけないというのは、理解できません。（定義を加えただけで別名となった例を知らないので）

お礼日時：2015/10/31 18:37

No.11 回答者： uyama33 回答日時： 2015/10/31 00:00

数の集合であり、

しかも、四則演算が定義された代数系であると認めやすくするには、
四則演算を、
０&０＝０
０#０＝０
０~０＝０
０@０＝０
と定義すれば、
四則演算を備えた立派な代数系になると考えます。

この回答へのお礼

ｘ％ｙを「ｘをｙ個の積で表す組み合わせの数」と定義すると、
自然数だと
２％１＝１　（２）
２％２＝２　（１・２　と　２・１）
６％２＝４　（１・６　と　２・３　と　３・２　と　６・１）
などとなりますが、実数に拡張すると組み合わせは無数にあるので求められません。

つまり、集合として加法は拡張でも、他の演算は拡張にはならない例はあると思います。
すべての演算（今回は割り算）が一致しないから別の記号を使え、というのは、少し乱暴な意見だと思います。

それに、０という記号は加法単位元という意味で使うものと思うので、
加法が定義されていないのに使うのは変です。

お礼日時：2015/10/31 17:33

No.10 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/30 21:07

ANo.8へのコメントについてです。

> ｛０｝を「数の集合」だと言った時に、多くの人が違和感を持つのかどうか、
> そしてどこに違和感を持つのかが分かれば良いです。

　集合｛０｝を「数の集合」と呼ぶことには全く何の違和感もありません。たとえば、０を「自然数」だと思ったとして、実際「数の集合」と言う通り、これは幾つかの自然数だけを含む集合なのだから。
　ゆえに、ご質問の代数系を指して「数の集合」と呼ぶということについては、違和感というより、単に誤りと考えます。
　で、ご質問の代数系を数の体系だと仰るということであれば、「そう呼びたければご自由に」と思いますが、ただし「名前をつけて他の数との区別を明確にしないことには混乱の元になるよ」という保留を付けます。

この回答へのお礼

数と呼んでもいいが、自然数への「自然な拡張」ができないことを明記しておけ、ということですね。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/31 07:54

No.9 回答者： asano_nagi 回答日時： 2015/10/30 18:22

No.5 です。

「自然に拡張できない」について、まず、「自然な拡張」を見てみましょう。

整数では、「1 + 1 = 2」です。
これを拡張して有理数を作った場合、有理数の部分集合（例えば、分母が1のもの）は、整数と同一視できます。

有理数では、1/1 + 1/1 = 2/1 という計算結果になりますが、これを、同一視した整数の世界では、1/1 は 1 と、2/1 は、2 とそれぞれ同一視できますから、この式は、整数の世界での、1 + 1 = 2 という結果を変更しません。

これは、整数の加法が有理数の加法に「自然に拡張」できている例です。

一方、有理数の世界では、0÷0は「不定」ということで、定義できません。
つまり、「0だけの世界」で、0÷0が定義できたとしても（不定ではあるが、元が0しかないので、たまたま、答を決められますね）、それを拡張したはずの有理数では、（０と同一視できる有理数の元が存在するのにもかかわらず）0÷0が定義できない。
つまり、「ゼロだけの世界」で有効な計算が、それより拡張された世界では「計算できない」ということになってしまうのです。

ですから、0÷0を、例えば、有理数に「自然に拡張」することはできないわけです。

※ちなみに、加法と乗法だけを定義すれば、「自然に拡張」することができます。
有理数の正解でも、0×0＝0であり、0＋0＝0だからです。

回答の中に「ゼロ環」という言葉がありますが、この、「環（かん）」は、「加法と乗法」が定義されている世界です。
四則演算まで拡張した世界は、「体（たい）」という世界になります。

自然数の世界は減法と除法に対して、整数の世界は除法に対して、それぞれ閉じてないので、自然数や整数は、「環」であり、有理数は、「体」になります。

この回答へのお礼

少し誤解が発生してるようですね。
「自然に拡張」できないのは理解しています。

確認しますと、ゼロ環の元を０で表すのは違和感ないんですよね？
そして和、差の定義も問題ない。積の定義も問題ない。
加法と乗法は、まとめて群の概念になるから、
単位元や逆元という概念が出てくるのは当然で、それらは存在するから、
加法や乗法の逆演算も存在する。
でも、こうやって出てきた「０÷０＝０」に、皆さんは違和感を抱かずにはいられない。
…あれ？どこで間違ったんだろう？どの段階で違和感が生じたんだろう？
というのがNo.5で示した疑問です。

お礼日時：2015/10/30 19:22

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2015/10/30 17:55

「数」という語に明確な定義はない。

ただ、ある代数系を「数っぽいイメージ」で扱いたい時に、その代数系を「◯◯数」のように命名して定義を与えることが行われます。ですからご質問の代数系<{0}, +, - , ×, ÷>も、これをたとえば"fusem23数"と命名なさったとすれば、その事に特に誰も異論はないでしょう。

この回答へのお礼

数学における「数」の定義を教えてくれ、という質問ではないです。
｛０｝を「数の集合」だと言った時に、多くの人が違和感を持つのかどうか、
そしてどこに違和感を持つのかが分かれば良いです。

多くの人が違和感を持ち、それを解消できない見込みであれば、
敢えて「数」だと言う必要はないですから。

ただ、この集合を表す時０という記号を使うことが多いから、
それは「数」と思って使っているのかな？という疑問が出たのです。

あなたが「数」と思うかどうかを答えてください。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 18:38

No.7 回答者： uyama33 回答日時： 2015/10/30 16:56

０からなる集合ですから、数の集合とはいえますが、

自然数などと同様の、何種類かの演算に関して閉じている数の集合（代数系）

と呼ぶのは、適当とは思えません。

理由は次のとおりです。

演算は
0△0＝０
の三角の部分を変えただけですから、
S*S→S
の写像としての区別が付きません。
どれも、
(0,0)→0
です。

記号が違うから違う演算だということならば、
三角の部分を異なる記号にすれば何千種類もの演算が定義できてしまいます。
でも、内容は一つの写像に過ぎません。

四則演算は、それぞれ特徴があるから別の演算として区別されますが、
内容的に区別されない演算をいくつ作っても無意味だと考えます。

数（代数系）というからには、
せめて、内容的にも異なる演算が、2種類（+、-）か3種類（+、-、*）は欲しいと思います。

数らしさ（代数系らしさ）が足りないと感じます。

この回答へのお礼

自然数は、加法と乗法が定義されてるから「数」なのですか？
０、１、２の定義には、乗法が使われていません。
それでも、既に「数」と言えると思います。

お礼日時：2015/10/30 18:15

No.6 回答者： qexby 回答日時： 2015/10/30 12:36

> 「乗法に関する逆元は自分自身である」となってるから、

> 逆元を掛けること、すなわち割り算も定義可能と考えます。

ていうか、作れる２項演算はｘ△ｙ＝０（と空の２つ？）しかないです。
部分代数と思うのなら演算は元の演算の制限です。

この回答へのお礼

演算を制限すべきと受け取りました。
元の概念をなるべくそのまま持ってきたらそうなったのであって、
私には「０÷０＝０」を定義したことに何の意図もありません。

部分代数だから制限される、というのは、今一つ納得できません。

回答、ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/30 17:46