0^0 での積の定義

0^0 （０の０乗）については、「０個の０の積」という言い表し方は妥当だと考えます。
この時、積はどう定義するのが妥当でしょうか？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9212855.html
という過去の質問においては、
「０個の○○」と「０個の××」に違いは無いという結論に落ち着いたため、
「０個の０の積」と「０個の２の積」より、すなわち
　0^0=2^0=1
という結果が導けてしまうので、これを否定するような別な定義があれば色々提示してください。

質問者からの補足コメント

• x^y は x,y の両変数共に実数だと考えてください。
  値域も実数であり、そのため x,y≧0 という制限を付けます。

  No.78の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/19 17:16

No.45 ベストアンサー 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/13 12:38

私の中で、あなたの質問の意図が鮮明になってきました。

あなたの問いは(当たり前かもしれませんが)まさにこのQAのQに書かれていることそのものですね。外の人からみれば、なんと私は頭が悪いのだ、と言われそう。私以外の回答者は、みな理解できていたのかもしれません。ただ、質問者には苦労をかけましたが、私にとっては、質問者の解釈を鮮明にする上で、これまでの考察は無駄ではなかったと考えます。特に、「０個の０の積」を質問者がどう解釈しているかがわかってきた。

さて、私は、あなたが0^0=1を導いた過程は正しいと考えます。少なくとも「０個の０の積」と「０個の２の積」が等しいことも苦労なく認めることができる。

>「０個の○○」と「０個の××」に違いは無いのだから、
どんな決まりに置き換えても 0^0=1 という結論が出る。
……それは正しいか？

あなたの問いは奥が深い。
公理　「０個の○○」は全て等しい　を認めるとする。
このとき、任意の「決まり」から0^0=1が導かれるか

反対に、ある「決まり」が存在して0^0=1が否定されるか

ですね。任意の「決まり」を考えることが非常に難しい。
先の回答者が、このQAは公理系だと仰っていたことがなんとなくわかったような気がします。

この回答へのお礼

>私の中で、あなたの質問の意図が鮮明になってきました。

こういう高評価は、いくつか質問をしてきた中で、あまり無いことです。
そして、もし良ければ、もう少しこの問に付き合ってください。

No.31
>２個のみかんと３個のりんごを足すと５？５個のみかん？５個のりんご？
>のどれかがあなたの答えですね？

にはまだ回答が貰えていません。
これを考えて貰えると、「０個の○○」は全て等しい、がより分かりやすくなると思います。

過去にはお金に換算する人もいましたが、
「２個のみかん」が「お皿の上には何がある？」への返答だと気付けば、
簡単に答は出せると思います。

お礼日時：2017/08/13 13:55

No.99 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/21 22:14

いや、ミカンをa^b、リンゴをc^dとして「質問者が独力で」定義しなければ回答群はすべて無駄になる。

そのときあなたの信用は失われる。

この回答へのお礼

あなたにとっては、私の信用が失われるかどうかが大事なのですか？

もし、私があなたの回答を受け入れなかったのがそう思ったきっかけなら、残念です。

お礼日時：2017/08/21 22:52

No.98 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/21 19:31

一般に「０個のりんご」と「０個のみかん」が等しいかどうかは意見が色々でそうです。

ただ、集合論的な意味で、「どちらも空集合である」と言われれば、私は素朴に納得してしまいそうです。

いくつか、不明確な部分も残りましたが、
私としてはここまでとしたいと思います。

ありがとうございました。

この回答へのお礼

単独で回答と言えるものではなく、読む気にさせてくれるものをベストアンサーに選びました。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2017/08/21 22:51

No.97 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/20 17:48

だいぶＱＡが長く続いたので、過去の議論を振り返ることも参考になります。

(i)「０個の○○」と「０個の××」は等しい
(ii)「2^0」と「0^0」は等しい
(iii)「０個の○○」も「０個の×」も空数列[]に等しい
のどの公理でもよいですが、認めると「0^0=1」が導かれますね。

それを踏まえた上で、過去の方々のお礼を振り返ってみると、
(i)「０個の○○」と「０個の××」は等しい　について
「０個の○○」と「０個の××」は等しくないですよ、とか、
「〇〇」や「××」に入る数学的構造次第、などの意見などがありました。

私は、「〇〇」や「××」に入る数学的構造次第だと考えるので、「０個の○○」や「０個の××」の○○と××に具体的に何かを入れないと公理としては成立しないと考えます。「０個の２」も「０個の０」も同じ空数列とみるという考え方は、私にとっては受け入れやすかったのです。

いずれも、(i)(ii)(iii)を認めるかはその人次第なので、(i)(ii)(iii)が公理かどうか広く受け入れられるかどうかはよくわかりません。そして、認めてしまえば、0^0=1が容易に導けます。


--------------
①＞ 「ｎ個のｘ」に加算を定義し、数列と同一視する。
有限数列とその数列加法が定義された。とくに「０個のｘ」（ｘは任意の実数）は空数列[]
②＞ 「０個のｘ」がすべて単位元であり同一であることを証明する。
「０個のｘ」つまり①でいう空数列と実関数f(x)=0を同一視する。
★ここが証明ではなく、「０個のｘ」を[]やf(x)=0としようという公理を認めたことにあたる。
③＞ 「ｎ個のｘの積」とx^nを同一視できることを証明する。
はい。
④＞ ｘ≠０なら「０個のｘの積」が１だと証明する。
指数関数exp(x)を自然数べきを用いた級数で定義することで証明されますね。ｘ＞０に対して。
⑤＞ 「０個の０の積」も１だと結論する流れかな？
No94で自分も示しました。

①～⑤までのあなたの考えが、私にとってはよりわかりやすくなりました。
②が公理となっていますので、あらたな公理を認めた上での証明ということになります。

この回答へのお礼

>いずれも、(i)(ii)(iii)を認めるかはその人次第なので

(i)は比較的認められやすいですね。
「２個のりんご」と「３個のみかん」を足すと「２個のりんごと３個のみかん」になる。
では「２個のりんご」と「０個のみかん」を足すと？答は「２個のりんご」。
というのはヒントを出さなくても正答を出す人がいる。
そういう人は「０個のりんご」＝「０個のみかん」と考えているでしょう。
そこから(i)に至るのは楽だと思います。

>私は、「〇〇」や「××」に入る数学的構造次第だと考えるので

りんごやみかんには数学的構造は存在しないので、
それでも成立する事柄は、数学的構造には依存しないと考えていました。
②までは果物という架空の集合の要素として話を進めることができると思います。

この質問の範囲からは外れますが、個人的には
「０個の行列の積」や「０個のベクトルの外積」などで
①～⑤のどこで問題が発生するか考えるのも面白いかと思います。

お礼日時：2017/08/20 18:26

No.96 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/20 17:26

実数体で考えます。

0個のx∈Rの積に対して、x^0=1を定めるならば、その逆数の0個の積もまた(1/x)^0=1
これを許すなら、
x^0=(1/x)^0=1
x→∞の極限では0^0=1
任意のxに対してx^0=1の定義のもとではx^0=0^0=1

この回答へのお礼

>0個のx∈Rの積に対して、x^0=1を定めるならば
0∈R しかし (1/0)∈R したがって
>その逆数の0個の積もまた(1/x)^0=1
は x≠0 ならば成り立つ。

>x^0=(1/x)^0=1
>x→∞の極限では0^0=1
lim[x→+0]x^0 の計算ですね。

>任意のxに対してx^0=1の定義のもとではx^0=0^0=1
その通りだと思います。

お礼日時：2017/08/20 17:47

No.95 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/20 16:33

No94について

混乱から復帰しました。

通常のべきで考えると
2^0=1　・・・Ａ
0^0=？　・・・Ｂ
0^0＊2^0　は（0^0を無視して計算しろと要請し）2^0=1　・・・Ｃ
「2^0=0^0」であるという公理◆を認めると0^0=1

これと同じことですね。①～⑤の議論の①において、2^0も0^0も空数列と定義してしていることが◆にあたりますね。

このＱＡの質問中の
>「０個の○○」と「０個の××」に違いは無いという結論に落ち着いたため、　☆
>「０個の０の積」と「０個の２の積」より、すなわち
>　0^0=2^0=1
> という結果が導けてしまう
これと同じことを別の表現で示したにすぎませんね。

次の３つの公理
(i)「０個の○○」と「０個の××」は等しい
(ii)「2^0」と「0^0」は等しい
(iii)「０個の○○」も「０個の×」も空数列[]に等しい
どうやって説明しているかの違いだけですね。

なお、乱暴ですが、(i)と(iii)は同値な公理であり、
(ii)は(i)から導かれる公理であると考えます。

この回答へのお礼

どんどん私より先に進んでいる気がします。

ここの内容は、すべて了解です。

お礼日時：2017/08/20 17:18

No.94 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/20 16:11

参考になることかわかりませんが、「写像の制限」という概念があります。

※私は詳しくありません。

「制限 (数学) - Wikipedia」などに説明されています。

実数Ｒ上で定義された関数fの定義域をＲの部分集合Ｍに制限したものをf|Mと表す。

いまの考察の対象は、IP(f|M)ですね。
このＭはこれまでの考察で
・濃度は有限であるとする。
・x≧0のためにＭ∩[0,∞)≠Φ
の条件が伴いましたね。
この「写像（関数）の制限」を利用すれば、
IP(f|M):=Π(x∊M)exp(f(x)・log(x))
などとすれば、定義として少し前進する？

ただし、logの使用により、厳密には
IP(f|M):=Π(x∊M,x>0)exp(f(x)・log(x))
としなくてはならない。


このとき次のような結果を導く。

M={2}とし「０個の２」を考えてみよう。これは、空数列[]つまり、f(x)=0の制限でありこのとき、
IP(f|M)=Π(x∊{2},x>0)exp(f(x)・log(x))＝exp(f(2)・log(2))=exp(0・log2)=exp(0)=1　・・・Ａ

Ｎ={0}とし「０個の０」を考えてみよう。これは、空数列[]つまり、f(x)=0の制限でありこのとき、
IP(f|N)=Π(x∊{0},x>0)exp(f(x)・log(x))＝Π(x∊Φ) exp(f(x)・log(x))・・・Ｂ
となり、Π(x∊Φ)が定義されていないため計算不能。

L={0,2}として「０個の０と０個の２」を考えてみよう。これは、空数列[]つまり、f(x)=0の制限でありこのとき、
IP(f|L)=Π(x∊{0,2},x>0)exp(f(x)・log(x))＝exp(f(2)・log(2))=exp(0・log2)=exp(0)=1・・・Ｃ

などが導かれる・・・

IP(f|M)もIP(f|N)もIP(f|L)も空数列[]つまりf(x)=0に対する関数の総乗であるから、　★
IP(f|M)=IP(f|N)と考えると
Π(x∊Φ) exp(f(x)・log(x))＝１
が導かれたように見える。

これは、・・・と私もやや混乱しています。★がおかしい？



------①～⑤を明確にする試みについては
①＞ 「ｎ個のｘ」に加算を定義し、数列と同一視する。
有限数列とその数列加法が定義された。とくに「０個のｘ」（ｘは任意の実数）は空数列[]
②＞ 「０個のｘ」がすべて単位元であり同一であることを証明する。
「０個のｘ」つまり①でいう空数列と実関数f(x)=0を同一視する。
③＞ 「ｎ個のｘの積」とx^nを同一視できることを証明する。
④＞ ｘ≠０なら「０個のｘの積」が１だと証明する。
⑤＞ 「０個の０の積」も１だと結論する流れかな？

③について
（１）「ｎ個のｘの積」の「ｎ」は自然数？実数？
（２）「ｘ」は実数ですね。
（３）「積」とは？この積を模索している？
（４）「ｘ＾ｎ」の定義は？
が明確になっていません。

この回答へのお礼

>（１）「ｎ個のｘの積」の「ｎ」は自然数？実数？
ｎが自然数ならば、「ｎ個のｘ」は数列に対応。
ｎが実数ならば、「ｎ個のｘ」は関数に対応。

>（２）「ｘ」は実数ですね。
実数です。

>（３）「積」とは？この積を模索している？
積とは、数列について定義したものやIP()のことです。

>（４）「ｘ＾ｎ」の定義は？
一般的なべき乗あるいは指数関数です。
「同一視」とは0^0 を定義域から除いて同じ結果が得られるということ。

お礼日時：2017/08/20 17:16

No.93 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/20 14:28

No92へのお礼ありがとうございます。

定義を実関数上の定義に差し替えてしまいましたが、
趣旨や意図に反するなら、指摘をお願いします。

> （２）「単位元」とは何を指すか？
>f(x)=0となるもの、つまり「０個のｘ」は単位元です。
「０個のa」（aは任意の実数）は（１）では空数列[]に対応しますが、
関数では「0個のa」つまり空数列[]は関数f(x)=0（ｘは任意の実数）に対応するということですね。

>IP(f)のその定義は不完全ですので修正が必要ですが、
>どういうｆに対してIP(f)が何を返すかはすべて把握されています。

どういうことでしょうか？
関数f(x)=1に対して、IP(f)は何を返すと把握されていますか？

この回答へのお礼

>関数f(x)=1に対して、IP(f)は何を返すと把握されていますか？

f(x)が０以外の値を取るのは、定義域の中の有限個の点だけです。
f(x)=1 だと発散して計算できません。

「……の積」が表すのは有限個の積とするので、f(x)にもそういう制限が付きます。
ここら辺は、定義を示してない方が悪いのですが。

お礼日時：2017/08/20 14:59

No.92 回答者： tsukita 回答日時： 2017/08/20 13:12

No89・No90について

No89は、No71で提示された
①＞ 「ｎ個のｘ」に加算を定義し、数列と同一視する。
②＞ 「０個のｘ」がすべて単位元であり同一であることを証明する。
③＞ 「ｎ個のｘの積」とx^nを同一視できることを証明する。
④＞ ｘ≠０なら「０個のｘの積」が１だと証明する。
⑤＞ 「０個の０の積」も１だと結論する流れかな？
を明確にしていこうという試みです。

①についてはNo78で有限数列とその数列加法が定義されました。①の段階でストップしていましたが、無限数列の定義を保留にするなら、②の進めることは可能です。

②＞ 「０個のｘ」がすべて単位元であり同一であることを証明する。
についてまず確認が必要なことは、
（１）「０個のｘ」のｘは実数でよい？
（２）「単位元」とは何を指すか？
の２点です。


No90について
あなたの考えを推察すれば、あなたは、積を“実数関数に対して”つぎのように定義していると解釈できる。
【実関数に対する総乗の定義】
f(x)を実数を定義域とする任意の関数とする。
f(x)に対して、総乗IP(f)を次のように定義する：
IP(f):=Π(x∊R>0,f(x)≠0)　exp(f(x)・log(x))　※定義として大問題あり

※IPは総乗：InfiniteProductの各単語の頭文字をとった。
※総乗の英訳の中に、infinite（無限の）が使われることに驚きました。
※この定義はあなたのΠ exp(S(k)・log(k))そのもの。
　ただ、S(k)の定義が省かれる分だけ定義が簡潔になる。


【上記の実関数の総乗の定義】に対するこれまでの考察
・関数exp(x)については、xは任意の実数でかまわない。なぜなら、任意の実数に対して自然数のべき（累乗）で計算が可能。
・logの定義域がx>0であるために、定義中のx∊R>0に「>0」をつけている。
・集合{x：x∊R>0,f(x)≠0)}の濃度がアレフまたは０の場合は総乗の計算の仕方がわからない。★
　つまり、全体としてIP(f)という定義には欠点がある。
　※それらの場合を除けば、濃度アレフ０について極限値の考えを導入し、IP(f)は定義可能。
・「０個の０の積」は、この定義にしたがえば、例えば実関数f(x)=0（すべてを0に移す関数）のIP(f)を用いて説明されるが、この場合、
IP(f)=Π(x∊R>0,f(x)≠0)　exp(f(x)・log(x)) =Π(x∊Φ)exp(f(x)・log(x))
となり★の行で指摘したΠ(x∊Φ)に該当し計算できない。この辺がNo57あたりで議論され、「否定的」な解決が導かれた。

この回答へのお礼

>（１）「０個のｘ」のｘは実数でよい？
はい。

（２）「単位元」とは何を指すか？
f(x)=0は関数の加法(f+g)(x)に対して単位元となります。
f(x)=0となるもの、つまり「０個のｘ」は単位元です。

>つまり、全体としてIP(f)という定義には欠点がある。

IP(f)のその定義は不完全ですので修正が必要ですが、
どういうｆに対してIP(f)が何を返すかはすべて把握されています。
④でf(x)=0についても何が返ってくるかは分かるので、結果は導けます。

関数というのは計算式で定義するのが一般的ですが、
ある値に対してどういう値が返るか決めれば、それも定義のやり方です。
それに従って0^0が計算できるのなら、問題はないと思います。

>「否定的」な解決が導かれた。

否定的な解決で終わったのは、「－２と３の積」という当たり前のものに、
対応するｆとIPの組み合わせが作れなかったためです。
補足では負の数を制限してますが、諦めたから制限を付けたのです。

お礼日時：2017/08/20 14:12

No.91 回答者： 6960山仲雅子 回答日時： 2017/08/20 12:26

穿った見方をするなら、

0^0→0個のものが無い→0は許されない
言葉で表すならば、無いものが無い→有る
0^0=0以外の任意の数となるが、0^0=1と定義付けたわけですね。

0^0=1に定義付けするのであれば、1は「有る」という意味になる。
数字ではなくなってします。

この回答へのお礼

>0^0→0個のものが無い→0は許されない

「0個のものが無い」は 0・0 を表す言葉ですね。

お礼日時：2017/08/20 12:53