スムージングを度合いを調べる方法

一次元に並んだ正規確率変数があり、
これにガウシアン平均をかけます。

後から、かけたガウシアン平均の標準偏差を調べたいのですが
どのようにすれば良いですか？

自己相関関数かフーリエ変換を使えば、求まるとは思うのですが
得られた結果に対して最小2乗法で何かの関数をフィッティングとかしないと駄目でしょうか？

もっと簡単に求める方法があれば教えてください。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  
  質問内容は書いて下さった内容で合っています。
  平均化前の標準偏差は未知です。
  
  ベイズの原理、MAP推定、EM法などは調べてみたのですが
  この場合にどのように適用すれば良いか分かりません。
  
  もう少し具体的に計算の仕方を教えていただけないでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/19 11:57

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/11/19 21:15

質問者さんにどこまでの前提知識があるのかが分からないと回答しづらいです。

ベイズ統計は考え方自体は、そんなに難しくないとは思いますが、さすがここでゼロから説明するのは無理です。

また、フィルタだけではなくて、最初の分布の平均や標準偏差も未知だとすると、解析的に解くのは難しい気がします。

そうですね。。
真面目にベイズの式を立てて、EM法なりで最適パラメータを求めるってのをやるのが面倒なら、
階層ベイズモデルを作って、ちまたにたくさんあるMCMCサンプラー（winbugs、stanなど）を使うのがよいと思います。
極端な話、中身がよくわかってなくても、簡単に使えます。

「bugs/stan勉強会」などで、ググってみると、いくつか参考になりそうなページが見つかります。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/11/19 09:55

つまり、

１）ある正規分布（この分布の平均、標準偏差は既知なのかな？）に従うデータ（確率変数）を x1～xN のN個とってきた。
２）１で取ってきたN個のデータx1～xNに、（標準偏差が未知の）ガウシンアン平均フィルタをかけて y1～yN を得た。
で、
３）y1～yNのデータから、２でかけたガウシンアン平均フィルタの標準偏差σを推定したい、
ってことですか？

基本的には、σの事前分布を適当に考えて、ベイズの原理から事後分布を計算して、事後確率が最大になるようなσ＊を推定値とする（MAP推定）、
というのが一番まっとうなやりかただと思います。

実際に計算はしてみてはいませんが、これぐらいの問題であれば、解析的に計算できる気がします。
もし、解析的に計算するのが大変であれば、EM法なりで数値計算すれば、簡単に求まるでしょう。