急いでいます 数学の問題

多項式ｆ(x)がxについての恒等式
xｆ(x^2－1)－5ｆ(x)＝(x^3＋1)ｆ(x－1)－2(x－1)ｆ(x＋1)－4x－29

㈠ｆ(0),ｆ(1),ｆ(-1)の値を求めよ

㈡ｆ(x)の次数を求めよ

㈢ｆ(x)を求めよ

わからないのでよろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/17 23:40

次数を推測して解いても良いですし、とりあえず当てはめてもいいですし

とりあえず当てはめるなら
f()の中身を見ると、
x^2-1, x, x-1 x+1があります
これのどれかを
0に出来る整数は1,-1,0の3つ
1に出来る整数は1,0,2の3つ
-1に出来る整数は0, -1, -2の3つ
ですかね

とりあえずこの数字を適当に突っ込んでみます
x=0 : -5(0) = f(-1) -2(-1)f(1)-29　……①
x=1 : f(0)-5f(1) = 2f(0) - 33　……②
x=-1 : -f(0)-5f(-1) = -2(-2)f(0) -25　……③
これで、全部求められるので、あとは略

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それぞれの項の次数を考えていきます(どっちにしろ(2)で必要なので)
f(t)の最大次数をnとすると
xf(x^2-1)の最大次数は 1+2n
5f(x)の最大次数はn
(x^3+1)f(x-1)の最大次数は 3+n
2(x-1)f(x+1)の最大次数は1+n
-4x-29の最大次数は1

左辺と右辺の最大次数が等しくなるので、
1+2n = 3+n
n = 2

よって、f(x) = ax^2 + bx +cとおける(ので、おく)
左辺は
x{a(x^2-1)^2 + b(x^2-1) +c} + -5(ax^2+bx+c) = (x^3＋1){a(x-1)^2+b(x-1)+c} －2(x－1){a(x+1)^2+b(x+1)+c} －4x－29

これ、展開して係数比較したら解けます。
たぶん、そっちの方が早いです
それが嫌なら0,-1,1を代入して解きます (2とか入れてもいいけどしんどいので、この3つにします)

x=0を代入して
-5c = a-b+c -2(-1)(a+b+c) -29 = 3a+b+3c-29
3a+b+8c = 29 ……④

x=1を代入して
c -5(a+b+c) = 2c -4-29
5a+5b+6c = 33 ……⑤

x=-1を代入して
-c -5(a-b+c) = -2(-2)c +4-29
5a -5b +10c = 25
a-b+2c = 5 ……⑥

④＋⑥
4a + 10c = 34
2a + 5c = 17 ……⑦

⑤＋⑦x5
10a + 16c = 58 ……⑧

⑦x5 -⑧
9c = 27
c = 3
あとは代入して
a = 1, b=2
要するに
f(x) = x^2 + 2x +3

これに0,-1,1を代入して
f(0) = 3
f(1) = 6
f(-1) = 2

f(x)の最大次数が2になること、もしくはf(x) = g(x) + x^2 + 2x +3 ( g(x)は3次以上のみで構成される式)とした時に成り立たないことを"証明"しないといけないかもしれません