統計：四つの数値の比較

四つの数値の比較についてお尋ねいたします。

4年前（100人対象）,3年前（150人対象）,2年前（90人対象）,1年前（60人対象）の平均点が、
それぞれ、

Aの科目：51点、42点、36点、31点
Bの科目：40点、46点、60点、62点
Cの科目：9点、12点、13点、13点

だった場合、数字としては確かに変化しています。
ただ、誤差も考えると、これで「増えている」とか「減っている」とか言うことは
できるのでしょうか。
それとも、各年度間で2σの変化量があった場合にのみ言えるのでしょうか。

ご助言いただけましたら幸いです。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• できましたら、エクセルやSPSSでの検定の方法をご教示くださると
  たいへん助かります。
  よろしくお願いいたします。

    補足日時：2015/11/22 14:54

No.4 回答者： duoshaoqia 回答日時： 2015/11/25 21:44

No.3です。

前提１．過去4回の試験問題が完全に同じだった。
前提２．過去4回の対象者は異なる対象者だった。
前提３．対象者ひとりひとりのそれぞれの科目の得点がわかっている
前提４．得点の分布は正規分布している

という前提で、エクセルでの分析方法を記載します。

①正規分布をしているか確認する
１．個人の得点が入っていないセルに、10,20,30,40…100と10刻みで縦に数値を入力する。
２．「データ」→「データ分析（もしくは分析ツール）」→「ヒストグラム」を選択する。「分析ツール」がなければ、「オプション」→「アドイン」で分析ツールを選択すると「データ」タブ内に表示される。
３．「入力範囲」に4年前のA科目の得点が入っているセルを、1人目から100人目までドラッグして場所を指定する。
４．最初に10刻みで数値を入力した範囲を指定する。
５．「グラフ作成」にチェックを入れ「OK」を選ぶ。
６．描かれた棒グラフ（ヒストグラム）が、見た目で概ね綺麗な山型になっていれば、だいたいOK。山が窪んでいたり、山が右や左に極端に寄っていたり、ピークが2つ以上あったら、正規してないので前提が崩れる。
７．A科目の残りの3年前、2年前、1年前も同様にヒストグラムを作図する。

②正規分布していた場合、「帰無仮説：過去4回の試験問題の平均に統計的な差があるとは言えない」として、平均値の差の検定を行う
１．「データ」→「データ分析（もしくは分析ツール）」→「分散分析：一元配置」を選択する。
２．「入力範囲」にA科目の4年前～1年前までの全てのデータの範囲を選択してOK。
３．「分散分析表」のp値が0.05未満であれば、帰無仮説は棄却されて「過去4回の試験問題の平均に統計的な差がある」。ただし、どの年度とどの年度に差があるかまではわからない。
４．「データ」→「データ分析（もしくは分析ツール）」→「等分散を仮定とした2標本による検定」を選択。
５．差をみたい年度（例えば4年前と1年前）のデータをそれぞれ、変数1の入力範囲、変数2の入力範囲に範囲を指定してOK。
６．表示された結果の、P値（両側）の数値が0.05未満であれば、年度間の平均に統計的に差があったと結論。


かなり強引で「良くない」分析方法をしています。
なぜなら、本当に正規分布しているかどうかの検定をしていませんし、等分散かどうかも確認していません。
また、有意水準の調整もしていません。

ただ、だいたいの結果の雰囲気をつかめる方法かと思います。
データの状況や、試験問題の状態などがわからないと、これ以上はなかなか難しいのかなと思います。

つたない文章ですいません。

No.3 回答者： duoshaoqia 回答日時： 2015/11/24 12:08

過去4回の試験問題が完全に同じだった、という前提で話を進めると、

No.1の回答者：keiryuさんの指摘の通り、集団の分布の状態（各個人の得点）がわかれば統計処理が可能です。

過去4回の試験問題が一部でも同じではなければ、
No.2の回答者：yhr2さんの指摘の通り得点を正規化すればなんとかなるかもしれません。

いずれにしても、情報不足は否めません。

また、過去4回の対象者が同じ対象者（同じグループの人が4回とも参加したのか）もしくは、異なる対象者（毎回新規の対象者だった）によっても、比較の方法は変わってくると思います。

少し難しいですが、「項目反応理論（IRT)」で調べていただければ、「複数のテストの難易度を比較する」ということがご理解いただけるかと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/22 15:52

平均点だけが分かっていても、何とも言えません。

その年によって、問題の難易度が変わっているでしょうから、平均点も各個人の得点のバラツキ（分散、標準偏差）も変わっているでしょう。各個人の得点が分かれば、毎年の「偏差値」（平均点を50点、標準偏差を10点として正規化した点数）で何か言えるかもしれませんが。

＞各年度間で2σの変化量があった場合

　何の「2σ」ですか？　上に書いたように、「毎年の平均値」のバラツキをとってもしょうがないですよ。

　１週間ほど前の、こんな質問への回答も参考にしてください。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9112494.html

No.1 回答者： keiryu 回答日時： 2015/11/22 15:01

それぞれの集団の分布の状態が分からないと難しいのでは。

４年前の１００人のAの科目の平均が５１点という情報だけでは情報不足。１００人全員が５１点でも平均は５１点。
３年前の１５０人の場合も全員４０点なら、検定をするまでもなく、減っているといえるでしょうから。