数学Ⅱ 不等式の証明問、3(a∧2+b∧2+c∧2)≧(a+b+c)∧2を証明せよ。また、等

数学Ⅱ 不等式の証明

問、3(a∧2+b∧2+c∧2)≧(a+b+c)∧2

を証明せよ。また、等号はどのようなときに成り立つか。

質問、
3(a∧2+b∧2+c∧2)-(a+b+c)∧2
=(a-b)+(b-c)+(c-a)≧0

また、等号が成り立つのは
a=b=c=0のとき。

となっているのですが、
「a=b=c」のとき。で良いのでは？
「=0」は要らないのでは？

No.3 回答者： モリシゲ 回答日時： 2015/11/27 20:56

左辺-右辺

＝3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ca
=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
≧0
よって、左辺)≧右辺
等号が成り立つのは、a=b=c

すいません、もう出てました。
せっかくなので、投稿させてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2015/12/04 21:46

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/24 19:53

＞「a=b=c」のとき。

で良いのでは？
＞「=0」は要らないのでは？

　はい。そうです。「a=b=c のとき」でよいです。

　でも、お示しの式の変形は、正しくは

3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2
= 3a^2 + 3b^2 + 3^2 - ( a^2 + b^2 + c^3 + 2ab + 2bc +2ca )
= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca
= a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2
= (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 ≧ 0

ですよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2015/12/04 21:45