q=90330絡みの質問です。
Σ(k=0~n) k * nCk * (N-n)C(n-k) / NCn = n^2 / N
が経験的に正しそうなのですが、証明の仕方がわかりません。
数学的帰納法でいけるかと頑張ってはみてるのですが上手くいきません。
誰か証明してください。
式の背景的意味合いについては
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=90330
をご参照下さい。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
F(N,n)=Σ{k=0~n} nCk (N-n)C(n-k) /NCn
とします。
∀N ∀n F(N,n) =1
であることは証明できそうかな?確率である以上はこうなってなきゃおかしいですよね。
これが示せたら、
E(N,n)=Σ{k=0~n}k nCk (N-n)C(n-k) /NCn
が
E(N,n)=(n^2)/N
となることは以下のようにやれば良いでしょう。
STEP1
∀N(E(N,0)=0)
∵E(N,0)=0 0C0 NC0 /NC0 = 0
STEP2
∀N (E(N,n)=(n^2)/N)
であると仮定するとき、
∀N (E(N+1,n+1)=((n+1)^2)/(N+1))
である。
∵E(N+1,n+1)=Σ{k=0~n+1}k (n+1)Ck (N-n)C(n+1-k) /(N+1)C(n+1)
=(1/(N+1)!)((n+1)! (N-n)!)^2Σ{k=1~n+1}k /[(n+1-k)!^2 k! (N+1-k)!]
=[(n+1)^2/(N+1)](1/N!)(n! (N-n)!)^2Σ{k'=0~n}1/[(n-k'))!^2 k'! (N-k')!]
=[(n+1)^2/(N+1)]F(N,n)
かくて、F(N,n)=1を示す問題に帰着。いつもイー加減ですいませんねえ。
そうか、E(N,n+1)じゃなくてE(N+1,n+1)を考えれば良かったんですね。
ところでE(N+1,n+1)を証明するのにE(N,n)を使ってませんよね。ってことは帰納法ではないですね。
F(N,n) = 1については何だか上手く証明できないのですが、「確率だから」という大義名分の下に自明としまっていいんじゃないでしょうか?。
「全ての事象の確率の和は1となる」みたいな定理、ありませんかね?
(というか、もう2項係数はもう見たくもないというのが本音ですが。(笑))
後は納得です。ちっともいい加減じゃないですよ。
おかげで心のもやもやが晴れました。ありがとうございました。
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