一片の長さが8センチの正三角形の内部に、大きさの等しい3つの円が互いに接して下図のようにおかれている

一片の長さが8センチの正三角形の内部に、大きさの等しい3つの円が互いに接して下図のようにおかれている。これら3つの円の中心をaからcとするとき、△abcの面積を求めよ。答えは16√3-24㎠ですか、何故そうなるのか分かりません。回答よろしくお願いします。

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2016/01/30 00:46

点AとBのそれぞれから左の方の接点に線を引くと長方形ができる。

さらに点Aから真上の頂点に向けて線を引くと１：２：√３の直角三角形ができ、点Bから左下の頂点に向けて線を引くと１：２：√３の直角三角形ができる。
よって、円の半径を r とすると、大きい正三角形の１辺の長さは (2+2√3)r である。また、小さい正三角形の１辺の長さは 2r である。
よって、辺の比は

大の辺：小の辺 = (1+√3) : 1

なので、面積比は

大の面積：小の面積 = (1+√3)^2 : 1^2 = (4+2√3) : 1

である。

これは、小さい方の面積を (4+2√3) 倍すれば大きい方の面積が出せるということだが、大きい方の面積がわかる（16√3 平方センチメートル）ので逆にこれを割らなければならない。

しかし、割る計算方法を習っておらず、答えを４つの選択肢から選べるのだとしたら、それらを (4+2√3) 倍して 16√3 になるものを選ぼうではないか。

ここで次のことに気づこう。 (4+2√3) 倍して 16√3 になるということは、

(3+√2)(3-√2)=9-2=7　だとか
(√6-√3)(√6+√3)=6-3=3

のように項がひとつだけになることが起きているのではないかと。

かける数は 4+2√3=2(2+√3) になるから、2-√3 があるはずだ！と予想して、その方針に沿って選択肢をまとめると、次のようになる。

4√3-4=4(√3-1)
8√3-12=4(2√3-3)=4√3(2-√3)
16√3-24=8(2√3-3)=8√3(2-√3)
32√3-48=16(2√3-3)=16√3(2-√3)

あるある（笑）。こうしてみると計算がたやすい。(2-√3)(2+√3)=1 だから、ほとんど暗算で答えがわかる。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/01/29 19:35

補助線を、Bから真下、Bから左斜め下の頂点まで、Bから左斜め上の辺に垂線、Cの側も同様に引くと、底辺に、直角三角形の底辺と、BCと同じ長さの線と、直角三角形の底辺、ができるでしょう。

小さな円の半径をｒとすれば式が作れるはずです。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/01/29 14:02

まず、円の半径ｒを求めましょう。

大きな三角形の左下をＤとしてＤＢとＢから真下に補助線を引いてください
大きな底辺とＢから真下に引いた線の交わる点をＥとします。
左右対称ですから、大きな三角形の底辺は
（ＤＥ）ｘ2+（ＢＣ）=8cm　　　　BC=2r

△ＤＢＥは鋭角が３０度の直角三角形ですので
ＤＥ＝（√3）r

この二つを組み合わせると、
2（√3）ｒ+2ｒ＝8
r=4/(1+√3）ですね。
とりあえず上下に　-（1-√3）かけて分母を有理化して約分しましょう。
r=2（√3-1）
円の大きさが等しいので△ＡＢＣは正三角形になりますので面積は
（（2√3）r^2）/2＝（√3）r^2
になりますから、rを代入して
4√3（√3-1）^2
=4√3（3-2√3+1）
＝4√3（4-2√3）
＝16√3-24

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/01/28 18:54

これの逆ね。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
bから真下と真横に向かって補助線を引くと両方とも小さい円の半径になるのと、
鋭角が30°の直角三角形が二つできるのを組み合わせて考えるとわかる。