「すべての交点を求めよ」という問題の答えに接線も含めて良いのでしょうか?
それとも「すべての共有点を求めよ」の間違いなのではないかと思うのですが、
回答お願い致します。

質問者からの補足コメント

  • 接点を含めても良いのでしょうか

      補足日時:2016/01/31 14:22

A 回答 (5件)

ちょっと調べてみましたが、交点には2流派有るようですね。



1) 2つの図形が点を共有している場合のその点。
つまり 交点=共有点で接点も含む
2) 2つの図形が点で交差している場合のその点(ユークリッドの交点)
で、接点は交点の場合もあるしそうでない場合もある。

で、結局はっきりした定義がないので、「交点」を使うのは
やめようという流れのようです。英語の数学だと、交点相当の
言葉(cross point)はあまり使われないので、問題ないという
ことみたいですね。

個人的には球と球がー点で接している場合、その点を交点と呼ぶのは
奇妙だと感じるし、線分の端点が重なっているのを交点と呼ぶのは
変に感じます。やっぱり交わるというのは互に突き抜けて欲しい(^-^;

で、質問の回答ですが、解釈は2つに分かれるようなので
両方の解釈に基づくイヤミな回答を書くしかないでしょう。

問題作成者の不見識ということなのでしょう。
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接点は2つの交点が1つに合流したもので、もちろん交点に含まれます。

「すべての交点を求めよ」という問題で接点を書かなかったとなれば減点というよりも0点でしょう。方程式で言えば重解です。2つの解α,βがα=βとなったものが重解であり、それは接点に対応しています。
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接線(接点)は交点では無いので、含まれません。

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>この定義では交点は接点を含まないでしょう



正確には変曲点に接する接線の接点は交点ですね。
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ユークリッドの定義では



線や面によって異なる部分に分かれている場合において、
 その一方から他方に線や面が延びていることを
 交わるという。

線が他のものと交わってできる点を交点という。

なので、この定義では交点は接点を含まないでしょう。

定義次第なので、他にも流儀があるかも。
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P(cosθ,sinθ)とおけば、PにおけるCの接線の方程式は (sinθ)y+(cosθ)x=1
ただし、-π/4<θ<π/4
これと直線y=±mx(0<m<1)とのx>0での交点は、それぞれ
Q{1/(cosθ+msinθ),m/(cosθ+msinθ)}
R{1/(cosθ-msinθ),-m/(cosθ-msinθ)}
見にくいからcosθ=c ,sinθ=s と書く
(QR)^2={1/(c+ms)-1/(c-ms)}^2+{m/(c+ms)+m/(c-ms)}^2
=4m^2/{c^2-m^2s^2}^2=4m^2/(1-s^2-m^2s^2)^2=4m^2/{(m^2+1)s^2-1)}^2
ここで、QRが最小になるためには、この分母が最大になればよい
つまり(m^2+1)s^2-1 の絶対値が最大になればよい。
0<m<1 と -1/√2<sinθ<1/√2 に注意すると
(m^2+1)s^2-1 の絶対値は sinθ=0 すなわち θ=0 のとき最大1となる。
このとき(QR)^2=4m^2  ,QR=2m

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R{1/(cosθ-msinθ),-m/(cosθ-msinθ)}
見にくいからcosθ=c ,sinθ=s と書く
(QR)^2={1/(c+ms)-1/(c-ms)}^2+{m/(c+ms)+m/(c-ms)}^2
=4m^2/{c^2-m^2s^2}^2=4m^2/(1-s^2-m^2s^2)^2=4m^2/{(m^2+1)s^2-1)}^2
ここで、QRが最小になるためには、この分母が最大になればよい
つまり(m^2+1)s^2-1 の絶対値が最大になればよい。
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Q接線の方程式と接点の座標を求めよ

次の曲線に、与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。また、接点の座標を求めよ。
(1) y = logx,(0,0)

自分の計算(とちゅうで詰まる)
f(x) = logxとおくと
f'(x) = 1/x
f'(0) = ????

Aベストアンサー

>自分の計算(とちゅうで詰まる)
f(x) = logxとおくと
f'(x) = 1/x

接点を(p,logp)とすると

接線は

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これが(0,0)をとおるために

-logp=-1 ⇒ p=e

求める接線の方程式

y-1=(1/e)(x-e)

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