No.1ベストアンサー
- 回答日時:
AD、BCの中点をそれぞれM,Nとする。
台形ABCDはMNに関して線対称である。(等脚台形)∠COD=2∠CAD=90°(中心角は円周角の2倍だから)
AD//BCより∠BCA=∠CAD=45°、∠BOA=2∠BCA=90°
⊿AOMはAO=5、AM=3の直角三角形であるのでMO=4
⊿AOM≡⊿DOM、∠AOM=∠DOM=αとする。
∠AOM+∠AOB+∠BON=180°であるから
∠BON=180°-(∠AOM+∠AOB)=180°-(90°+α)=90°-α
∠OBN=∠OCN=90°-(90°-α)=α
求める面積SのADの上側をS1、BCの下側をS2とすると
⊿AOM=⊿DOM=⊿BON=⊿CON=3×4/2=6cm^2なので
S=S1+S2
S1=2[πr^2×(α/360)-6] (r=円Oの半径=5cm)
S2=2[πr^2×((90-α)/360)-6]
S=2πr^2×(α/360)+2πr^2×((90-α)/360)-24=2πr^2×(90/360))-24
=πr^2/2-24=25π/2-24
No.2
- 回答日時:
△ACDはこの円に内接するから、正弦定理より
2×5=CD/sin45°
CD=10sin45°=10×(√2/2)=5√2 (cm)
△ACDで、余弦定理より
(5√2)^2=AC^2+6^2-2・AC・6・cos45°
50=AC^2+36-2・AC・6・(√2/2)
AC^2-6√2AC-14=0
(AC-7√2)(AC+√2)=0
AC>0 より
AC=7√2 (cm)
AD // BC より
∠BCA=∠CAD=45°
△ABCはこの円に内接するから、正弦定理より
2×5=AB/sin45°
AB=10sin45°=10×(√2/2)=5√2 (cm)
また、余弦定理より
(5√2)^2=BC^2+(7√2)^2-2・BC・7√2・cos45°
50=BC^2+98-2・BC・7√2・(1/√2)
BC^2-14BC+48=0
(BC-6)(BC-8)=0
BC=6, 8
ここで、
弧CDに対する円周角だから
∠CBD=∠CAD=45°
四角形ABCDの対角線の交点をEとすると、
△EBCで、
∠EBC=180°-∠CBD-∠BCA=180°-45°-45°=90°
よって、四角形ABCDの2つの対角線は直交する。
BC=6 とすると、四角形ABCDは長方形になり、
2つの対角線が直交することに反する。
よって、
BC=8 (cm)
円の中心をOとすると、
△ABO と △COD において
∠AOB=∠COD=90°
したがって、影の部分の面積は
π×5^2-(1/2)・6・7√2・(1/√2)-(1/2)・8・7√2・(1/√2)-{π×5^2×(1/4)-(1/2)・5・5}×2
=25π-(1/2)・6・7√2・(1/√2)-(1/2)・8・7√2・(1/√2)-{(25/4)π-(25/2)}×2
=25π-21-28-(25/2)π+25
=(25/2)π-24
求める影の部分の面積は、
円の面積から
台形ABCDの面積(△ABCの面積と三角形CADの面積の和)と
辺ABの左側の部分の面積(扇形OABの面積-△OABの面積)と
辺CDの右側の部分の面積(扇形OCDの面積-△OCDの面積)を
引けば求まりますが、もっと、すっきりする解き方があるのでは?
ありがとうございました。
円周角と中心角の基本を見逃しておりました。
ここから右下4分の1円の扇形を円の中心0を回転の中心として90度
右上に回し、左下4分の1円の扇形は左上に回すと
半円-長方形になることがわかりました。
どちらの方も早々に明快な解答をいただきました。
早くいただいた方をベストアンサーとさせていただきました。
ありがとうございます。
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