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Pearsonの不完全ガンマ関数の定義を教えてください。

A 回答 (2件)

物理学者の siegmund と申します.



不完全ガンマ関数は物理屋にはおなじみですが,「Pearsonの」とついているので興味をもって調べてみました.
No.1 の drmuraberg さんご紹介のページには確かに
The incomplete gamma function is defined by K. Pearson [2,p. v] to be
(1)  Γ_y(p+1) = ∫{0→y} t^p e^(-t) dt   -1<p, 0≦y
と書いてあるのですが([2,p. v]は参考文献),これでは普通の不完全ガンマ関数の定義と変わらないですね.
ただし,普通よく見るのは(例えば,Wikipedia の「不完全ガンマ関数」)
(A)  γ(s,y) = ∫{0→y} t^(s-1) e^(-t) dt   0<s, 0≦y
の形です.
y の書き方(下付にするか,かっこの中に入れるか)や,p と s の書き方の違い(p+1 = s になっているだけ)は
本質的ではありませんが,大文字Γと小文字γは重要な違いのように思われます.
その理由は普通大文字の不完全Γ関数は
(B)  Γ(s,y) = ∫{y→∞} t^(s-1) e^(-t) dt   0<s, 0≦y
で定義されるからです(積分範囲に注意).

さて,上の文献には defined by K. Pearson と書いてあるのですが,
Pearson が最初に定義したという意味ではなさそうです.
不完全ガンマ関数はルジャンドルの頃からあります
(Wikipedia には「ルジャンドルの不完全ガンマ関数」という表現があります).
なお,(A)や(B)をΓ(s)で割ったものをルジャンドルの不完全ガンマ関数ということもあります.
上の状況から察するに, drmuraberg さんご紹介のページの著者 Roy Takanaga は
最初に Pearson が定義したという意味ではなく,例えば有名な Pearson の本に定義が載っているという意味で
defined by K. Pearson [2,p. v] と書いたのではないでしょうか.
K. Pearson は数理統計学者のカール・ピアソンですかね(Wikipedia にも載っています).

で,本題ですが,いろいろ調べて
https://www.cs.purdue.edu/homes/wxg/selected_wor …
の p.467 の(1.7)式,あるいは
http://userpages.umbc.edu/~dfrey1/ench630/gamma. …
の p.262 の 6.5.6 に
Pearson's form of the incomplete gamma function があるのを見つけました.
上の2つはちょっと見かけは違いますが,同じものであることは簡単に示せます.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

おそらくこれだと思います!
ありがとうございます。

お礼日時:2016/02/23 18:01

次のHPの(1)式ですか。


http://www.ams.org/journals/mcom/1966-20-096/S00 …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

しかし、知りたい情報はなかったです。

お礼日時:2016/02/23 18:01

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