電子スピンのｘ、ｙ成分について

こんにちは、

電子のスピンは、Ｚ方向に磁場をかけると、
54.7度傾き　歳差運動（首振り運動）をする旨の
説明が、光と電気のからくり（ブルーバックス
山田克哉著）に書かれています。

また、同書のＰ１６５　図４４には、Ｚ方向に
磁場があるときのスピンの歳差運動の様子が
書かれています。（大小２つの円すいの先を、
あわせたような図です。）

この図からしますと、54.7度傾いていますから、
ｘ、ｙ軸に直角になるように平行光線をスピンに
当てると、影の長さが、ｘ、ｙ成分になります。

このｘ、ｙ成分も、ｚ成分と同様に、２つの値
（上、下）しかとらないのでしょうか？

No.13 ベストアンサー 回答者： hagiwara_m 回答日時： 2004/07/30 13:51

補足質問に気づくのが遅くなりました。

ごめんなさい。

(2)の方から、少しだけコメントします。

注意を要するのは、「棒磁石」の運動は、原子からなる結晶格子剛体系の運動であり、スピン系そのものの磁気回転効果を直接見ることにはならない点です。そのためいわゆるコマの首振り運動のような顕著な現象は起きないのですが、それでもいくらかの効果は残ります。たしか「マクスウェル効果」と呼ばれるものですが、恐らく、実測に成功した例はないのではないでしょうか。

一方、強磁性体を、（首振りではなく）強制回転させたときに誘起する磁気モーメントを調べるのが、「ド・ハース効果」の実験です。この効果も非常に弱いですが、実測はなされており、電子自身の磁気モーメントは、軌道回転運動を考えたときの2倍になっているということの直接証明になっています。

いずれにせよ、物体の巨視的磁気モーメントそのものは、古典量であって、x,y,z 成分のそれぞれが時間の関数として決まります。

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さて(1)についてですが、間接的ということなら、磁性体の「スピン波」とか「磁気緩和」など、スピンの横成分が関わる実験はいろいろありますが、"Jx^2+Jy^2"の値を直接測る方法はと言われると、直ぐにはお答えできません（すみません）。ただ、スピンには、不可避的に横成分に逃げた揺らぎ成分をもつと考えることで、磁性現象が矛盾なく理解されていることは確かです。

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grothendieckさんへ。
私の表現がまずかったですね。磁場をかけることと、z成分を確定させることは、確かに別です。私の立場は、磁場をかけるが、観測するのは個々のスピンでなく巨視的な磁化としています。スピン方向はカノニカル分布に従っており、統計力学的な巨視量を常に連続観測するとき、スピンの状態をどのように分かりやすく説明するかという問題です。表現は適宜直してお読み下さい。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

特に（１）について、知りたかったのですが、

理論的には、[l^2,lx^2+ly^2]=0なので、測定

可能なのですが、実験では、具体的に　確かめられて

ないということですね。

お礼日時：2004/07/31 21:52

No.14 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/08/02 20:59

私はNMRやESRのことは知らないのでお答えするには適任ではないとは思いますが、No11の補足について少し述べさせていただきます。

まず(1)について、適当かどうかは分かりませんが、Jx^2+Jy^2が観測量になる例としてつぎのような物が考えられます。ボーアとモッテルソンは原子核が自転できることを明らかにしました(これに対し、電子のスピンは電子の自転ではありません)。原子核が回転楕円体で、ｚ軸周りに軸対称な形をしているとします。するといかにもｚ軸周りに回転しそうな感じですが、そのような回転は不可能で、X軸またはｙ軸周りの回転だけを考えればよいことが知られています。回転のハミルトニアンはスピンのｚ軸方向の成分（定数）をKとすると
　H=( Jx^2+Jy^2 -K^2)/2M
となります。ここでMはX軸またはｙ軸周りの慣性モーメントです。したがって原子核の回転スペクトルを調べればJx^2+Jy^2が観測されたことになります。
(2)については
　「古典論ばかりか量子論においても才差運動をする磁石のｘｙｚ成分は３成分とも確定している。」
というのが答えです。それではこれまでのスピンのｘ、ｙ成分が確定しないとか言う話はなんだったのか。もう一度書きますが、才差運動をするのはスピンではなくて偏極ベクトルです。偏極ベクトルとは何かといえば「スピンを平均したもの」ということになるのですが、スピン演算子と偏極ベクトルを区別することが重要です。シュレーディンガー描像ではスピン演算子は時間的に一定で波動関数はシュレーディンガー方程式
　i∂ψ/∂t =Hψ
に従うため、偏極ベクトルは
　ｄPz/dt=0
　ｄPx/dt= γB Py
　ｄPy/dt= -γB Px
に従います。すなわち才差運動をします。スピンの成分が確定してないというのはこのような時間変化のことではなくて、ある一定の時刻に測定した時のスピンの観測値は確実には予言できないということです。観測しやすくするため多数の粒子を集めて磁化を計算するとそのような不確定性は消えてしまうのですが、ミクロでも理論的には偏極ベクトルは上の式に従う確定した値を持ち、実験的にも中性子干渉計で確認されていることはすでに述べたとおりです。ミクロでもスピンのｘ、ｙ成分は意味を持ち、むしろマクロな量に変換する時に注意しないと才差運動が分からなくなってしまうということを私は強調したいと思います。hagiwara_mさんにはマックスウェル効果やド・ハース効果など有益なことを教えていただきましたが、スピンがカノニカル分布をしている時に才差運動が観測されるでしょうか。密度行列が
　ρ=exp(-E1/kT)｜↑><↑｜ + exp(-E2/kT)｜↓><↓｜
のときに偏極ベクトルを求めると
　Pz=(1/2)(exp(-E1/k) - exp(-E2/kT))
　Px= Py=0
となります。才差運動は粒子の集団が全体としてスピンがｚ軸以外の方向を向いている人為的な状態から出発しなければ観測されないのではないかと思います。
　

この回答へのお礼

皆様、ご親切な回答ありがとうございます。

素人にとりまして、ややこしい問題ですが、

少しは「わかったような気がします」。

もう少し、自分なりに勉強します。

お礼日時：2004/08/08 12:47

No.12 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/07/26 09:05

私の前回の回答に誤りがありました。

まずそれについてお詫びしなければなりません。しかしそれは後で触れること定常状態と非定常状態を区別することから始めましょう。定常状態とは時間的に一定な状態ですが、量子力学ではエネルギーが確定した状態と言うこともできます。磁場がｚ軸方向のとき、エネルギーはγBσzのようになりますので、スピンｚ成分の確定した状態｜↑>と｜↓>が定常状態です(スピン1/2の場合)。｜↑>はスピンのｘ、ｙ成分は確定しておらず、また歳差運動はしていません。｜↑>を多数集めて平均しても歳差運動は観測されません。一方、スピンのx成分が1/2の状態は
　｜Sx>=(1/√2){｜↑>+｜↓>}
になります。この状態は非定常状態で歳差運動をします。粒子が１個だけでも歳差運動が観測されることは中性子干渉計で確認されています。失礼ですが、hagiwara_mさんは定常状態と非定常状態を混同されているのではないかと思われます。私の前回の回答のうち
「ｘ軸方向のスピノールを2π回転させると-x軸方向を向く」
というのは誤りで、
「ｘ軸方向のスピノールを(才差運動で)2π回転させるとやはりx軸方向を向いた状態になるがスピノールの符合が替わる」
というのが正しい記述です。このことも中性子干渉計で観測されています。誤った回答で混乱を起こして申し訳ございませんでした。｜↑>または｜↓>の状態でスピンｘ成分を観測すると1/2と-1/2が半々に観測されるが、
　(1/√2){｜↑>+｜↓>}
のように重ねあわせるとｘ成分の固有状態になり1/2しか観測されなくなるということも中性子干渉計で確認されています。中性子干渉計については
　日本物理学会編「量子力学と新技術」培風館
　H.Z.バーンスタイン他「ファイバーバンドルと量子論」
　　日系サイエンス1981年9月号p.54
などに解説があります。
またハイゼンベルグ方程式は
dJx/dt=i[H,Jx]
に訂正させていただきます。

No.11 回答者： hagiwara_m 回答日時： 2004/07/22 23:19

No.3,4,5を書いた者です。

本格的な回答が多数でております。ご質問者の予想以上に高級な理論が必要と感じられているかも知れませんが、「スピン」の概念自体が、根本的に(相対論的)量子力学に根ざすものなので、視覚的に描ける古典的イメージに限界があるのはいたしかたないことです。

しかし、荒っぽいことを承知で、私なりに咀嚼した説明を記してみます（理論の方からの批判覚悟....）。

１個のスピンに磁場（外部および内部磁場込み）がかかっているとします。このとき、大きさ((√3)/2)h'の角運動量が、磁場軸(z軸)成分を h'/2 に保ちながら、x,y成分が揺らぐ状態になります。この揺らぎは量子力学的なものなので、どのような測定をしても、x,y成分を個々に知ることはできません。

しかし、このスピンを多数集めて、その平均値を観測することにすれば、事情が変わります。量子論的スピン演算子に対して統計的手法を適用すると、この平均値を計算することができ、
<Jx> ∝ cos(ωt+δ)
<Jy> ∝ sin(ωt+δ)
のような形が出てきます。時間tとともに、x,y面内を角速度ωで回転する運動ですね。

つまり、磁性体中の多数のスピンの平均を見るときには、スピンの集団運動の歳差運動が観測されるわけです。この歳差運動の振動数を直接観測する実験手段が、No.8の方のおっしゃる「電子スピン共鳴」です。

>観測されて得られた値でしょうか？それとも、理論的に、
>予測されている値でしょうか？

磁性体に強い磁場をかけて、磁気モーメントの飽和値を求め、これを磁性イオン当たりに換算することで、原子スピンの磁気モーメントが分ります。これがz成分です。

一方、弱磁場条件で測った磁化率の温度変化からも、原子当たりの磁気モーメントが算出されますが、この値は、上の飽和値から求めた値の (√((j(j+1)))/j倍 （スピン1/2の場合なら√3倍）になっています。

このように、Jz および |J| のそれぞれが実験的観測量に関わっており、これらの関係は、理論と実験の両面から確立・確認されてきたものです。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

咀嚼してブルーバックスレベルのご説明をして頂いて
少しはわかったような気がします。
更に理解を深めるために量子力学の教科書で、角運度量
とスピンの項を勉強するつもりです。

さて、恐縮ですが　下記についてご教示願います。
（１）○「(Jx^2+Jy^2)の値は(h'/√2)^2に決まりますが、
JxとJyのそれぞれは決まりません。」
　　　ということですが、それぞれの値は決まりませんが
　　　JxとJyを合わせた値は、実験で求めることが出来る
　　　のでしょうか？それとも、やはり、出来なくて
　　　単に、 |J|＾２－Jz＾２から求めるしかないので
しょうか？
（２）Z方向に磁場がある場合、棒磁石を首振り運動させた
とき（マクロな古典力学の場合）、電子のスピンの場合
と異なり、J,Jx,Jy,Jzそれぞれの磁気モーメントは、
きっちり正確に求められるのでしょうか？
マクロな場合でも、No.2のご回答のことがあるので、
測定できないのではないかと思い質問しました。

補足日時：2004/07/23 23:45

No.10 回答者： bttf2003 回答日時： 2004/07/22 22:57

＃８です。

前回のアドバイスの補足です。

スピノール場を御存じなくらい、物理学に精通されている方々には、私の私見に対してご不満があると思います。
しかし、今回の質問に対して簡明な回答をするなら、電子スピンに関する場合に限っては、専門的で詳細な知識はあまり示さないほうが、初学者や専門外の方々に対して、少しは「わかったような気がする」説明ができるのでは？と考えています。

No.9 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/07/22 18:51

ディラックによれば量子力学には「状態を記述する物理量の完全な組」というものがあります。

スピンについてはJ^2とJzを選んで対角化することが多く、状態空間の基底ベクトルはこの二つの物理量の固有値だけで指定できます。だからといって１つの電子について歳差運動という概念は意味がないとかスピンのｘ、ｙ成分を考える必要はないとは私は思っていません。１個の粒子の磁気能率は小さいのでNMRなどでは多数の粒子がなければ信号は検出できないでしょう。しかし一個の電子のスピンがどれだけ回転したかも測定可能なはずです。下図のように衝立に２個のスリットを開け、左方から粒子を入射させると粒子は自分自身と干渉してスクリーン上に干渉縞ができることは良く知られています。
　　　　　　　　衝立　　　　　　　　スクリーン
　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　粒子　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　→　　　　　 ｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　｜
入射粒子がｘ軸方向に偏極しており、二つのスリットに同じように別れるとします。このときスリット後方の二つのビームのうち一つにｚ方向の磁場をかけ、ｚ軸周りに２π回転させたとします。スピノールは２π回転させると元に戻るのではなく、-x軸方向をむきます。したがってスクリーン上で回転させてないビームと重ね合わせると、ｚ軸方向の固有状態になります。磁場を強めて４π回転させるとスクリーン上でｘ軸方向の固有状態になるとか、そのような実験ができるはずです。才差運動の方程式は古典論と同じになるが、スピノールで考えなければならない量子論的な問題だと思います。

No.8 回答者： bttf2003 回答日時： 2004/07/21 22:24

この質問は、応用物理か電磁気学の問題です。

１つの電子については、歳差運動という概念はあまり意味を持ちません。
１つの電子のスピンは、1/2hbar(hbar=h/2π、hはプランク定数）の角運動量をもっているだけです。
だから、１つの電子スピンのｘ、ｙ成分等を考える必要は、基本的にはありません。
電子スピンの歳差運動が問題になるのは、電子スピン共鳴（ESR)をする、周波数10GHz程度のマイクロ波で1μWくらいの電力を加えた時です。
この時、電子の集団は歳差運動（古典物理学の意味としての）を始めます。
この場合、電子の数は約１０^18個くらいです。

あとの歳差運動など、数値に関する古典物理学の詳しい説明は、他の回答者さんにおまかせします。（古典物理学の説明は苦手ですし、一部はすでに回答されていますので・・・）

No.7 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/07/21 17:36

量子力学の座標と運動量の交換可能ではなく、

　[x,p]=ih/2π
が成り立つため同時に確定した値は取らないというのは良く知られたことです。スピンの大きさの自乗J^2と各成分Jx,Jy,Jzの間にも
　[Jx,Jz]=-iJy, [Jy,Jz]=iJx, [J^2,Jz]=0
という関係があるため、JとJzは同時に確定できるが、JxとJyは確定しません。磁場がｚ軸方向のとき、ハミルトニアン（エネルギー）はJzに比例するので、エネルギーもJとJzと同時に確定値を取り、このときJxとJyは確定していません。私はこのような交換関係がJxとJyの確定しない原因と考えています。Jzが確定した状態で、例えば運動量のｘ、ｙ成分は確定した値をとり得るのではないでしょうか。また磁場がｚ軸方向のとき、JxやJyには意味がないとも言えません。ハミルトニアンがγBzJzの形のとき、ハイゼンベルグ表示では
　dJx/dt=-i[H,Jx]=γBzJy
　dJy/dt=-i[H,Jy]=-γBzJx
　dJz/dt=-i[H,Jz]=0
でまさに歳差運動をしており、JxとJyの期待値は予言可能で、ある時刻にJxが確定していれば、その後のスピンが確定している方向も計算できます。実際このような歳差運動がNMRでは重要な役割をしているのではないでしょうか(私はNMRのことは知らないので違うかもしれませんが)。物質に磁場をかけた時に起こることはスピンがいっせいに磁場の方向を向くことではなくて、歳差運動が起こるという認識は重要であると思います。
　

No.6 回答者： grothendieck 回答日時： 2004/07/15 18:08

量子力学で同時に確定値を取り得るのは同時に対角化できるまたは交換する作用素に対応する物理量であることは量子力学のテキストに書いてある通りです。

ハミルトニアンのスピンに依存する部分が
　γBiσi　　(iについて1から3まで和をとる)
のような形をしているとしましょう。特に磁場がｚ軸方向を向いた一様磁場である場合は
　γBzσz
なのでスピンのｚ成分はハミルトニアンと可換=定常状態で一定の期待値をとる―特にｚ成分がある時刻で確定した状態にあれば、その後も確定した値をとります。σxやσyはσzと可換ではないのでスピンのx成分やｙ成分は確定した値は持ちません。私には54.7という数字がどこから出てきたのか分かりませんでしたが、hagiwara_mさんの言われるようにarccos(1/√3)≒54.7°として出したのだとすると、同書の説明には疑いがもたれます。スピンのx成分やｙ成分が確定しないのはｚ成分と交換しないからであって、歳差運動をするからではありません。スピンの密度行列をρとし、偏極ベクトルを
　Pi = Tr{(1/2)σiρ}
で定義すると、歳差運動するのはこの偏極ベクトルです。Pとｚ軸の間の角は0～180度の値をとり、Pは３成分とも予言可能です。

この回答への補足

お返事ありがとうございます。


>スピンの密度行列をρとし、偏極ベクトルを
>　Pi = Tr{(1/2)σiρ}
>で定義すると、歳差運動するのはこの偏極
>ベクトルです。Pとｚ軸の間の角は0～180度の
>値をとり、Pは３成分とも予言可能です。


ご説明の程度が高いので、程度の低い私には、
よく理解できません。しかし、上記でおっしゃら
れていることは、No.５のご回答と異なるという
ことでしょうか？

補足日時：2004/07/20 23:14

No.5 回答者： hagiwara_m 回答日時： 2004/07/14 18:12

No.4の記述のまずかったところを訂正させて下さい。

回答文面の出だし：

×「(Jx^2+Jy^2)の値は決まりますが（√(1/2）h')、 Jx、Jy のそれぞれは決まりません。」

○「(Jx^2+Jy^2)の値は(h'/√2)^2に決まりますが、 JxとJyのそれぞれは決まりません。」

この回答への補足

お返事ありがとうございます。


すいませんが、下記についてご教示願います。

|J|=((√3)/2)h'と磁場軸成分は ±h'/2は、観測されて
得られた値でしょうか？それとも、理論的に、予測されて
いる値でしょうか？

>(Jx^2+Jy^2)の値は決まりますが（√(1/2)h'）、 Jx、Jy の
>それぞれは決まりません。
>量子力学的な定常状態には、古典力学的な初期条件が
>ありません。したがって、特定の意味をもつ向きは磁場方向
>だけで、磁場に垂直なx,y方向は完全に等価です。

すいません。なんとなくわかったようで、よくわかり
ません。
でも、この結果は、私にとって非常に興味のあるも
のです。
この現象を更に調べたいのですが、わかり易く解説
した本はないでしょうか？但し、私の理解できる
レベルは、ブルーバックス程度です。ご無理申します
が、よろしくお願い致します。

補足日時：2004/07/20 23:10