相対性理論を正しく理解するために必要な数学と勉強法

物理学科の学部２年生です。理論物理学に興味があります。


１．

大学の講義では特殊相対性理論までしか開講されていないのですが、卒業までに一般相対性理論ぐらいまでは自力で理解できるようになりたいと思っています。その為にはどのような数学を学べばいいでしょうか。

１年次では学校で、

○多変数関数の微積分
○（基本的な）微分方程式
○ベクトル解析
○線形代数（理論よりも計算重視）

などを学びました。春休みには、

○複素関数論の初歩
○数学の基礎理論（集合など）
○フーリエ変換
○ラプラス変換

を浅く広く学習しました。特に

位相空間・位相幾何・ルベーク積分論・関数解析・多様体・代数学・結び目などに関する幾何学

などはしっかりと学習した方が良いのか、それともあまり物理学には役に立たないのか知りたいです。


２．

勉強の仕方に関する質問です。
専門分野の話しかできない人になりたくなかったので、見聞を広めようと思い、１年次では主に人文系の学問に励み、数学や物理学をおざなりにしていたので、「どこまで深くやればいいのか」ということがよく分からず困っています。

例えば、数学の微積分などにおいてはδε論法などを使って厳密に定義を積み重ねていく数学科的な勉強のスタイルをとるべきなのか、細かいことは無視して、「物理に運用できる数学」というのを意識して勉強すればいいのか教えて下さい。前者は時間がかかりますが、後者では途中で壁にぶつかってしまうでしょうか。

また、偏微分や多重積分、べき級数展開などの意味をよく考えはするものの、行列の固有値や固有ベクトル、行列式などを求めることができても、その意味などはよく考えません。これも物理を学ぶ上で今後、障壁となるでしょうか。それとも小さいことを気にせず教科書を読み進めた方がよいでしょうか。


物理学の勉強においても、例えば、解析力学を学ぶとき、ニュートンの運動方程式から運動エネルギーに注目してラグランジュの運動方程式を導くところまでは丁寧にやりますが、それの運用（具体的な現象でラグランジュの方程式を立てて解を求めてみる）ことになると途端に興味が失せて教科書のページを飛ばしがちになってしまいます。
基礎理論や方程式を知っているだけではなく、それを現実の現象で使いこなせるようにならないとダメでしょうか。

はじめに学ぶときに使うべき図書についても質問があります。いきなり高度で厳密なものに手をだすべきでしょうか。学校のシラバスではランダウの本などが推薦されていて、初学者にはちょっと厳しいかなと思うので「物理入門コース」や比較的のみこみやすそうな参考書を使って勉強しています。学部４年までで一般相対性理論まで到達するには、いきなり難易度の高い専門書に取り組む根性と熱意が必要ですか。むやにみやっても理解できなさそうで心配です。


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ちなみに、今は解析力学を浅く終えた（ラグランジュから最小作用の原理、ハミルトン-ヤコビ方程式まで）ので、量子力学に本腰を入れようかと思っている段階です。



２年次になってからこんなことを質問するなんて、恥ずかしいあまりですが、よろしくお願いします。

No.4 回答者： kuzuni-to#1 回答日時： 2013/04/14 03:41

ちなみに、締め切られる前にもうひとつ。

＞これは積分域の違いだけで、広義の意味はほとんど同じ。

これの意味を正確に理解している人が私の周りではほんとに少ない。
ラプラス変換の意味、波と言う意味。

例えば、ラプラス変換。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97% …
ここに書いてあることなら、見るだけで理解できる。何なら、最初の図だけ知っていればいい。
重要なのは、これの仮定(実質的な利用背景)をはっきり理解すること。全部は言わない。
なぜt≧0なのか？

理解できたら捕捉にでも書いてくれ。

後は、フーリエ変換。フーリエ級数展開→フーリエ変換にどういう意味があるのか？
線形代数の直交関係が関係していることも重要だぞ？(線形代数＝行列ではないぞ！)
あと、波って何？数式ではsin(ωt-kx)のように進行波でもかかれるが、例えば初等関数のsin(x)の定義とは何か？
こういう細かい「定義」をおろそかにして理論物理学とか言っているようじゃ笑われるぞ。

No.3 回答者： kfkfjsjsjgi 回答日時： 2013/04/14 01:43

再訪失礼。

ランダウ=リフシッツの「場の古典論」は、微積を独学でマスターした私の数学力でも読み進めることができるレベル。
読み進められないなら、理論物理学は夢のまた夢。

ちなみに理論物理学でいうと、例えば超伝導「入門」の本でも、"="から"="までA4で10枚くらいになるような、べらぼうな数学力と根気が必要になります。
素粒子物理学でも同じです。

あなたはそれに魅力を感じるか、遠い世界を感じるか？
大体は挫折して実験系に移ったりしますよ。

No.2 回答者： kfkfjsjsjgi 回答日時： 2013/04/14 01:36

>相対性理論を正しく理解

これが必要か？
テンソル解析とか必要だね。

>○フーリエ変換
>○ラプラス変換

これは積分域の違いだけで、広義の意味はほとんど同じ。
H.P.スウ著のベクトル解析とフーリエ解析を流し読みで理解できればよい。

純粋数学と物理数学は厳密には結びつかない。
厳密さを取ると物理的には後れを取るし、物理数学を取ると純粋数学での論理の穴ができる。
これは、デルタ関数をはじめとする「物理数学」と、厳密さを重視する「純粋数学」の乖離が原因。
物理数学(特殊関数)は物理現象の説明に用いられるが、適用時点での「純粋数学」が追いついていない場合がほとんど。

ちなみに、解析力学は感覚で作られた部分が大きい。解を求めることにそれほど大きくウエイトを置いていない。物理的な意味を感じにくい学問分野です。
また、量子力学ではハミルトニアンばかり出てきます。
例えば、「詳解　理論応用　量子力学演習、1982.9、後藤憲一　他編、共立出版」を手元に1冊おいておけばわかります。
あと、固有値なんか量子力学じゃオンパレード。よく線形代数を理解しておくべき。(シュレディンガー形式で習うことが多いが、ハイゼンベルグ形式(行列形式)と同じことが後々示されるから。)
状態の行列表示は固有ベクトルと解釈するから、ハミルトニアンの重ねあわせは固有値の和とかを知らないでここに質問に来る人もいる。

私は物理学科ではないが、研究室に入ったら理論系と実験系に分かれる。
理論系では実験系が無視できない。実験系はデータ解析の能力が必要だ。
また、あなたは研究者になりたいのですか？
さすれば、全ての数学が必要であり、大半の数学が必要ない。
これの意味がわかるまで勉強せよ。

No.1 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/04/13 23:45

　個人的に使っていくための一般相対論入門の名著だと、「一般相対性理論（P.A.M.ディラック）」があります。

ネットで見られるようになってました。

http://homepage2.nifty.com/ysc/Dirac.htm

　そこには序文がないですが、訳書には読むために必要な前提知識として「特殊相対論の基礎」と「場の微分法」だけだと書かれています。高度なところまでは解説しておらず、その準備となる基本を網羅しているので、本当にそれだけしか必要ではないようです。

　もし、いきなりそれで難しそうなら、「時空と重力（藤井保憲）」があります。こちらには、必要なリーマン幾何学も解説があります（実はそれで重力方程式まで行っている）。一般相対論を数式で考え方と雰囲気を味わう名著として今でも人気があります。こちらは、ほとんど前提知識は要りません。

　その二冊を読めば、さらに進むには何が要るかは、たぶん分かると思います。