量子力学の運動量について

Question

量子力学ではなぜ運動量を演算子で考えののでしょうか？

　ｘｐ－ｐｘ＝－iｈバーになる理由もわからないので、どうか教えてください、お願いします

siegmund · Accepted Answer

siegmund です．
grothendieck さんのご回答拝見しました(他の回答もよく拝見しています)．
いやあ，見事な解釈ですね．
とても一般人とは思えないです．
ハンドルネームも数学が達者そうな名前だし．

量子力学の授業をやると，どうして交換関係？，
というところの説明に悩みます．
最近は昔ほど古典的解析力学をやりませんから，
それも苦労のもとの一つです．

対称操作，保存量，群論，などに達者な人なら，
grothendieck さんの説明がわかりやすいかも知れません．
でも，普通に量子力学を初めて勉強する，という人だとやはりつらそうですね．
それは，多分どうやっても同じなのでしょう．
私は，交換関係を最初は天下りにしておいて，
ある程度量子力学に慣れたところで古典力学との接続などに触れる，
という構成の授業にすることが多いです．

手元にあるテキストでは，ランダウ・リフシッツのテキストが
grothendieck さんと似た構成で運動量演算子の表示を導いています．

どうも批評がましくて失礼しました．

grothendieck · Answer

siegmund先生の後に書き込むのは気が引けますが…しかし物理にはいろいろな見方が可能です。他の視点を提供することにも多少の意味はあるでしょう。
　エイチ・バーをhと書くことにします。行列力学では量子化とは古典論のポアソン括弧を演算子の交換関係(をihで割ったもの)に置き換えることであるとされます。
　　　{A, B} → (1/ih)[A, B]
古典論では{x, p}=1ですから量子論では[x, p]=ihとなります。また，SchroedingerがHamilton-Jacobi理論から波動力学に至った経緯についてはGoldstein「古典力学」などをご参照下さい。しかし、ここではあえてより分かりにくい説明の仕方をします。運動量がなぜ-ihd/dxになるのかを考える前に運動量とは何かを考えてみましょう。系のラグランジアンが時間に無関係なパラメーターεに依存する座標変換
　　x　→　x(ε)
の下で不変であるとします。この時ラグランジアンの変化は
　δL = {(∂L/∂x)(∂x/∂ε)+(∂L/∂x・)(∂x・/∂ε) }ε
となります。ただしドットを文字の後ろに書いています。ラグランジュ方程式を用い、またεが時間に無関係なので
　　∂x・/∂ε = d(∂x/∂ε)/dt
であるとすると
　　d((∂L/∂x・)(∂x/∂ε))/dt = 0
という保存法則が成り立ちます。とくにx(ε)が無限小平行移動である場合
　　　x(ε) = x + ε
には運動量p= ∂L/∂x・の保存が導かれます。これを逆から見て「運動量とは無限小平行移動を生成するものである」と定義するのです。パラメーターaを持つユニタリ変換をexp(iag)という形に表わしたときエルミート演算子gをgeneratorと呼びます。波動関数ψ(x)を平行移動すると
　　exp(iap)ψ(x) = ψ(x) + iapψ(x) +…
これをテイラー展開
　　ψ(x+ε) = ψ(x) + ε(dψ(x)/dx) +…
と比較してみると
　　p = -ih(d/dx)
となることが分かります。ここでhは実数のパラメーターで実験によって決めると
　　h = 1.054×10^-34 Js
となります。これから[x, p]=ihも分かります。
　わざわざ分かりにくい説明の仕方をするなんて自己満足に過ぎないのではとも考えられますが、私はこの方式で理解(しようと)しています。

siegmund · Answer

h/2π を (hbar) と書くことにします．

(1)　　xp - px = i(hbar)
ですね(符号注意)．

(1)が基本です．
で，(1)を満たすように x と p の関係を設定すればよいわけで，
一番普通の 
(2)　　p = -i(hbar) (d/dx),　　　(x は普通に掛け算)
はその選び方の一つです．

実際，任意の関数(適当な解析性は必要) f(x) に対して
(3)　　(xp - px)f
　　　　= -i(hbar) {x(d/dx)f - (d/dx)(xf)}
　　　　= -i(hbar) (xf' - f - xf')
　　　　= i(hbar)f
となり，(1)が満たされます．

他にも設定の仕方はいくらでも可能で，
p は単なる数で，x を演算子とする方法はその一つです．
(4)　　x = i(hbar) (d/dp),　　　(p は普通に掛け算)
とすると，任意の関数(適当な解析性は必要) g(p) に対して
(5)　　(xp - px)g
　　　　= i(hbar) {(d/dp)pg - p(d/dp)g}
　　　　= i(hbar) (g + pg' - pg')
　　　　= i(hbar)
となって，やはり(1)が満たされます．

(2)は「x を対角化する表示」，(4)は「p を対角化する表示」
と呼ばれています．
(2)描像の波動関数(x が変数)と(4)描像の波動関数(p が変数)とは
互いにフーリエ変換の関係にあります．
実空間表示と運動量空間表示と言ってもよい．

(2)が用いられることが多いのはいくつか理由があります．
我々が見ているのは実空間ですから，実空間の方がイメージがつかみやすい．
特に，d 軌道の波動関数がどちらの方向に伸びて，
隣の原子のものと重なって....，
等という議論には(少なくとも直感的には)実空間表示がわかりやすいでしょう．

それから，波動関数を求める際には境界条件が必要です．
境界条件は通常 x 表示で設定されます．
例えば，x→±∞ で波動関数がゼロになるように，といった具合です．
これも x 表示の方が扱いやすいでしょう．

どうして(1)が成り立つのか．
これは自然がそういう風になっている(神様がそうした)，
というより仕方がないと思います．

量子力学の運動量について

siegmund です．

siegmund先生の後に書き込むのは気が引けますが…しかし物理にはいろいろな見方が可能です。

h/2π を (hbar) と書くことにします．

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