
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>「Aがエルミートであるとき,A^2(Aの2乗)もエルミートであることを証明せよ。
」-----------------------------------------------------------
><f|A†|g>=<g|A|f>*のとき,A†=AとなったときAをエルミート演算子といいます。
内積空間H における定義らしいので、Aがエルミート(A†=A) なら、
<Aξ, η> = <ξ, Aη> (任意のξ, η ∈ H)
が成立すると考えてよさそうです。
その条件下で、
<(AA)ξ, η> = <Aξ, Aη> = <ξ, A(Aη)> (任意のξ, η ∈ H)
なのは明らか。つまり、(AA)† = (AA)。
…じゃいけないのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
No.2に回答がありますが、補足要求だけして回答しないのも悪いので、
一応bra-ket記法の別解を記します。
ただ、この問題をbra-ket記法で書くと却って煩雑になるので、
回答としてはNo.2の方がふさわしいかもしれません。
<φ|A†|ψ>は<φ| = |φ>†とA†|ψ>の内積とも
<φ|A†と|ψ>の内積とも考えられますが、
(φ, A†ψ) = (Aφ, ψ) であることから、
<φ|A† = (A|φ>)† といえます。
また、<φ|ψ> = <ψ|φ>* = (|ψ>†<φ|†)* も自明でしょう。
この2つを用いると、
<φ|A†|ψ> = [|ψ>†(<φ|A†)†]* = <ψ|A|φ>* が示せます。
これは、Aがエルミートであるか否かに関係なく成立するものです。
Aがエルミートの時は A†=A ですので、
特に <φ|A|ψ> = <ψ|A|φ>* となります。
答案を書いてみると、
<f|(A^2)†|g>
= <g|A^2|f>* (∵ <φ|X†|ψ> = <ψ|X|φ>* )
= [ (<g|A)(A|f>) ]*
= (A|f>)†(<g|A)† (∵ <φ|ψ> = (|ψ>†<φ|†)* )
= (<f|A†)(A†|g>)
= (<f|A)(A|g>)
= <f|A^2|g>
一方 <f|(A^2)†|g> = <g|A^2|f>* ですので、
<f|A^2|g> = <g|A^2|f>* であることが示され、従ってA^2のエルミート性が示されます。
裏技的解法ですが、(AB)†=B†A†となることを認めれば、
(もちろん、これは別途証明が必要な主張です)
これの系として直ちに (A^2)† = A†A† = A^2 が示されます。
なお、固有値が全て実数だからと言ってエルミートとは限りません。
例えば、行列[ (1,1), (-2,4) ]の固有値は2,3ですが、
当然この行列はエルミートでも対称でもありません。
No.1
- 回答日時:
(1)演算子Aがエルミートであることの定義を書いて下さい(教科書に載っているはずです)。
(2)その定義を用いて、できるところまで証明を進めてみて下さい。
(1)(2)のできるところまで自分でやって、補足に記入して下さい。
この回答への補足
(1)エルミートの定義は
<f|A†|g>=<g|A|f>*のとき,A†=AとなったときAをエルミート演算子といいます。
(2)それで,頑張って解いているのですが,わかりません。
ちなみにAが具体的な形だと解けるんです。
(ポテンシャルvとか,運動量px=-ih・d/dxなど。)
しかしAの形が特に決まっていない今回の場合,どう取り扱っていいのか良く分からないのです。
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