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[1] Σが、たとえばi=1〜Nについての総和のことだとしましょう。
すると、x = (Σxi)/N
です。
[2] さて、ご質問の式の分子Sxyの中の(yi-y)を展開してみましょう。
Σ((xi-x)(yi-y))
= Σ((xi-x)yi-(xi-x)y)
= Σ((xi-x)yi)-Σ((xi-x)y)
= Σ((xi-x)yi)-yΣ(xi-x)
[3] ここで、
Σ(xi-x) = (Σxi)-(Σx)
であり、Σx ってのは「xをN回たす」ってことですから、
Σx = Nx
である。さらに、[1]の式から
Nx = Σxi
が得られますから、
Σ(xi-x) = (Σxi)-Nx = 0
である。
[4] なので結局、
Σ((xi-x)(yi-y)) = Σ((xi-x)yi)
というわけで、ご質問の式の右辺の分子が得られます。
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