トランプの確率の問題

１から１３までの５２枚のカードから同時に無作為に４枚ひいてならべます。
Ａ，Ｊ，Ｑ，Ｋ（１，１１，１２，１３）が四枚のうち三つまたは四つ出る確率はなんでしょう。
子供が学校の算数の授業でゲームを作ってそれをみんなでやってみて発表するらしいのですが、４枚のうち３枚以上出したら賞品があたるとうゲームにしたけど確率は？
５２枚から４枚ひくときの４枚の組み合わせは、５２Ｃ４で２７０７２５とおりですよね？
ＡＪＱＫは４組あるので全部で１６枚。そのうち３枚が同時にでるということは？？

教えてください。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 同じマークのという条件はなしです。AJQK16枚のうちマークは関係なく3枚以上出れば賞品ということです。

    補足日時：2016/06/20 15:55

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/20 09:56

＞Ａ，Ｊ，Ｑ，Ｋ（１，１１，１２，１３）が四枚のうち三つまたは四つ出る確率はなんでしょう。

「同じマークの」という条件はなくてもよいのですよね？

（１）4枚ともA, J, Q, K を引く確率
・最初の1枚は「52枚中の A, J, Q, K × 4マーク = 16枚」で確率 16/52
・1枚目が A, J, Q, K だったときに、2枚目が「残り51枚中の A, J, Q, K の残り 15枚」で確率 15/51
・1枚目、2枚目とも A, J, Q, K だったときに、3枚目が「残り50枚中のA, J, Q, K の残り 14枚」で確率 14/50
・1～3枚目が A, J, Q, K だったときに、4枚目が「残り49枚中のA, J, Q, K の残り 13枚」で確率 13/49

これが連続して起こる確率は
　　16/52 × 15/51 × 14/50 × 13/49 = 43,680 / 6,497,400 ≒ 0.00672

（２）A, J, Q, K を3枚引く確率（4回のうち1回は A, J, Q, K 以外）
・最初の1枚は「52枚中の A, J, Q, K × 4マーク = 16枚」で確率 16/52
・1枚目が A, J, Q, K だったときに、2枚目が「残り51枚中の A, J, Q, K の残り 15枚」で確率 15/51
・1枚目、2枚目とも A, J, Q, K だったときに、3枚目が「残り50枚中の A, J, Q, K の残り 14枚」で確率 14/50
・1～3枚目が A, J, Q, K だったときに、4枚目が「残り49枚中の A, J, Q, K 以外 36枚」で確率 36/49

これが連続して起こる確率は
　　16/52 × 15/51 × 14/50 × 36/49 = 120,960 / 6,497,400 ≒ 0.01862

A, J, Q, K 以外を引くのは、4回目でなくとも、１～３回目でもよいので、確率は上記の「4倍」になって
　　 (120,960 / 6,497,400) × 4 = 483,840 / 6,497,400 ≒ 0.07447

（３）以上より、4回引いて A, J, Q, K を3枚以上引く確率は、（１）と（２）の合計で
　　 43,680 / 6,497,400 + 483,840 / 6,497,400 = 527,520 / 6,497,400 ≒ 0.08119

12～13人に1人というぐらいの確率です。


「確率」ではなく、「場合の数」で計算してみると、
（１）52枚から4枚引く組合せの数は
　　　52C4 = 270,725 (通り)
（２）16枚の A, J, Q, K から4枚引く組合せの数は
　　　16C4 = 1,820 (通り)
（３）16枚の A, J, Q, K から3枚引く組合せの数は
　　　16C3 = 560 (通り)
　この場合には、残り1枚は「 A, J, Q, K 以外の36通り」との組み合わせが可能なので、合計では
　　　560 × 36 = 20,160 (通り)
（４）以上より、4回のうち A, J, Q, K から3枚以上引く組合せの数は、（２）と（３）の合計で
　　　1,820 + 20,160 = 21,980 (通り)

（５）上記の（１）の全体数のうち、（４）となる確率は
　　　21,980 / 270,725 ≒ 0.08119

上と結果が同じなので、間違いないと思いますが・・・。（けっこう、数え落としとか、ダブルカウントとか、考え違いしやすいので・・・）

この回答へのお礼

ありがとうございます。「場合の数」で考えて解き始めたんですが、あと一歩のとこで行き詰まってました。途中まで自分の考え方が合っていてウレシイのと、答えがわかってすっきりしました。
ただ娘にはまだ難しすぎて理解できないようです。確率を出すのがこんなややこしい計算になるとは考えずに作ったゲームのようです。

お礼日時：2016/06/20 16:06

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/20 20:01

取り出す順番で場合を区別するやり方で解きます。

AJQK は全部で16枚、AJQK以外は 36枚なので、
最初の3枚が AJQK で最後の一枚が AJQK以外の場合は
全部で、

16P3・36P1

AJQK以外が出る場所は、4種類だから、AJQKが3枚で
AJQK以外が1枚の場合は全部で

16P3・36P1・4 = 483840

AJQKが4枚でる場合の数は

16P4 = 43680

全てのパターンは 52P4 = 6497400

従って確率は

(483840 + 43680) / 6497400=0.081189

この回答へのお礼

なるほど、そんな考え方もできるんですね。こちらのほうが子供にはわかりやすいかもしれません。とても参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2016/06/21 15:42

No.1 回答者： born1960 回答日時： 2016/06/20 07:30

全部で52枚ですが、それぞれのスートは13枚です。

同時にという言葉に一瞬悩みますが、1枚づつ引いても同じです。
4/13×3/12×2/11×1/10＝24/17160=1/715 　52枚中同時に4枚引いて4枚ともAJQKである確率は715分の1
3/13×2/12×1/11＝6/1716＝1/286　 52枚中同時に3枚引いて3枚がAJQKである確率は286分の1。これは4枚目の数字の条件がないので3枚引くということでいいと思います。

ゲーム的には52枚中、3枚引いて2枚がAJQKって方がまだ子どもたちの当たる確率が高いしゲーム性もあると思います。
3/13×2/12＝5/156 これでも30人クラスで1人位の確率ですね。