微分方程式はどこまでやるべきでしょうか

微分方程式の本を読むと、まず冒頭から微分方程式は解析的には解けないものが殆どであると書いてありますね。
これは5次以上の方程式が代数的には解けないのと似たようなことなのだろうと捉えます。
代数方程式の場合は2次方程式は簡単に解け、3次、4次方程式は格段に難しくなり、5次以上は解法なしということが既に分かっているので、2次方程式の根の公式さえ理解できていればまあ普通はそれで十分だということが言えるのではないでしょうか。
しかし微分方程式の場合は、掴みどころがなくそのあたりの境界線がはっきりしないので一体どこまでやるべきものなのかよく分かりません。
例えばの話、必須レベルというか、代数方程式における2次方程式の根の公式レベルのものは微分方程式ではどのあたりになるのでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/23 09:37

ものによるかな。

任意階数の線形微分方程式は一階のべクトル微分方程式に
変換出来ます。解き方も機械的なやり方が決まってます。
非線形では知っておくべきものは応用分野次第でしょう。

この回答へのお礼

＞任意階数の線形微分方程式は一階のべクトル微分方程式に
変換出来ます。

なるほどね。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/06/29 11:26

No.4 回答者： cametan_42 回答日時： 2016/06/24 16:30

僕も線形の二階くらいまでかな、と思います。

と言うのも、物理学との絡みで、大体「常識的な範囲」では二階で解けるようにこの世は作られてる模様です。
(もっとも最先端では当てはまりませんけどね)

あくまで「常識」とか「一般教養」で語られる範疇なら、線形の二階まで、ってカンジになるんじゃないでしょうか。

この回答へのお礼

＞僕も線形の二階くらいまでかな、と思います。
と言うのも、物理学との絡みで、大体「常識的な範囲」では二階で解けるようにこの世は作られてる模様です。

何かの本にそんなことが書いてありましたね。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/06/29 11:27

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/22 20:11

高校レベㇽの微積分の知識では、「１階微分方程式」までしか解けないと思います。

「積分公式」（置換積分や部分積分まで含む）を適用して解くことになります。

大学レベルになると、解きたい微分方程式が増えて来て、「２階微分方程式」まで解くことが必須になってきます。何とか解析的に解けるのもこのレベルまでで、「２階」であっても係数が定数でないものは解析的には解けないと思います。
ということで、必須レベルは「定数係数の２階線形同次微分方程式」あたりまでではないでしょうか。あるいはこれの拡張である「定数係数の２階線形非同次微分方程式」までかな。

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2016/06/22 18:59

理系の仕事をするのなら、高校の3年生までは絶対に必要です。