純粋交換経済でXa,Xb,Ya,Ybがわからないとき

純粋交換経済の問題を自分なりに解いたのですが、わからないところがありました。教えていただきたいです。

二人2財からなる純粋交換経済で、個人aの効用関数はUa=Xa^(1/2)Ya^(1/2)、個人ｂの効用関数はUb=(1/2)Xb^(1/2)Yb^(1/2)で、経済全体の初期保有が(X,Y)=(2,2)である。
１．　消費者a,bがそれぞれ初期保有で財を消費するときそれぞれの限界代替率を求めよ。

効用関数を微分すると、MRSa=Ya/Xaになりますが、初期保有がわからないのでここでつまってしまいます。Xa+Xb=２をどうにかして活かすのでしょうか？

2. 競争的均衡で各財の取引が行われる時の均衡相対価格と限界代替率を求めよ。
1.と同じ理由でつまってしまいます。Px/Py=Ya/Xa=Yb/Xbをどうすればよいのでしょうか。

3．効用フロンティアを求めよ。
効用関数とパレート最適の集合線、財市場の均衡からUb=1/2(2-Ua)^2が求まりました。

4. 社会的厚生関数Ｗ=Ua+Ubのときの最適財配分を求めよ。
これが全く分かりませんでした。取り合えずUa+Ｕｂはしてみたのですが・・・

よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/05 14:46

>3　について、もう一度計算し直しました。

Ub=a/2(2-Xa)^(1/2)・(2-Ya)^(1/2)となり、Xa=YaよりUb=1/2(2-Xa)となり、Ua=Xaを代入しました。すると、Ub=Ua/2となりました。この前教えていただいたようにやってみたのですが、合っているでしょうか？


Ub = (1/2)(2-Xa)で、Ua=Xaなら、Ub=(1/2)(2-Ua) = 1 - Ua/2

となりませんか？

４．W=Ua+UbをUb=1 - (1/2)Uaの制約のもとで最大化する。制約を社会的厚生関数へ代入すると

W= Ua+[1 - (1/2)Ua] = 1 + (1/2)Ua

となる。よって、WはUaが大きければ大きいほど高くなる。ところが、Ua=Xa^(1/2)・Ya^(1/2)で、かつ
０≦Xa≦２
０≦Ya≦２
だから、主体aの効用もエッジワースボックス内では　
０≦Ua≦２
である。
Uaが２という最大値をとるのは、Xa=2,Ya=2のときだ、つまり、エッジワースボックスの一番北東の位置（正方形の右上のところ）にあるときだ。すなわち、両主体の配分が（Xa,Ya)=(2,2), (Xb,Yb)=(0,0)のとき社会的厚生Wは最大化される。これが最適配分だ。驚いた？

この回答へのお礼

３．Ub=(1/2)(2-Ua) = 1 - Ua/2ｓでした。慌てて間違ってしまっていたようです。
４．そのように解くんですね！まったくわからなかったです。どうもありがとうございました。

お礼日時：2016/07/05 20:44

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/05 05:31

以前の「純粋交換経済」についての質問の続きですか？あの問題は解決したのですか？解決したのなら、きちんと閉じてください。

解決していないなら、質問を追加してください。あなたは違うと思いますが、回答しても、礼もいわず、「逃亡？」してしまって、もう２度と回答したくないような質問者がなんと多いことか！
前置きはこのくらいにして、質問にはいりましょう。
＃１全体の初期保有量が(2,2)ということは、エッジワースボックスが横２、縦２の正方形だということです。初期保有点はボックス内どの点でも可能性があるということです。しかし、質問で「消費者a,bがそれぞれ初期保有で財を消費するとき」といっていることから、初期保有点が同時に「競争均衡」点になることを示唆しています。ところで、競争均衡はかならず契約曲線上（パレート効率集合）で成立することに注意しましょう。以前にもとめたように、契約曲線の式はY=X（エッジワースボックスの対角線（右上がりのほう）であるから、均衡が契約曲線上のどの点で成立つるとしても均衡においてはXa＝Ya,　Xb=Ybが成り立つので、
MRSa=Ya/Xa = 1, MRSb= Yb/Xb=1が成り立つ。一方、均衡においては
MRSa=Px/Py=MRSb成り立つから、相対価格Px/Py＝１が成り立つ。
初期保有点が対角線上のどこにあるかはわからないが、その点が均衡であるという事実によって以上のことはわかるのです。

＃３　これで正しいですか？もう一度確かめ、計算過程を示してください。少なくとも私の計算とは会いません。
＃４　＃３が正しくないと、正しい答えは得られないので、＃３を確かめたあとに説明します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
以前の質問について、解決しましたが、知らずにそのままにしてしまいました。次から締めます。

3　について、もう一度計算し直しました。Ub=a/2(2-Xa)^(1/2)・(2-Ya)^(1/2)となり、Xa=YaよりUb=1/2(2-Xa)となり、Ua=Xaを代入しました。すると、Ub=Ua/2となりました。この前教えていただいたようにやってみたのですが、合っているでしょうか？

お礼日時：2016/07/05 13:29