労働投入量 と 生産設備 の それぞれ を 2 倍 に する と 生産量 も 2 倍 に な るとき

労働投入量 と 生産設備 の それぞれ を 2 倍 に する と 生産量 も 2 倍 に な るとき 、 これ を 規模 に関する 収穫一定 と いい ます 。 この とき の 長期平均費用曲線 は どの よう な 形 を し ます か 。?

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/21 17:39

数学的に表わす前に、図・グラフを使って説明しておきましょう。

生産関数
Y=F(L,K)
は、Lを横軸に、Kを縦軸にとると、産出量Yの、それぞれの値にたいして原点に凸の等量曲線（生産の無差別曲線）を１つずつ描くことができる。いま、Y=1として、これに対応する等量曲線を描こう。つまり、1 = F(L,K)を満たすLとKの組の軌跡を描く。つぎに、等費用曲線
C=ｗL＋ｒK
をさまざまCの値について描く。等費用曲線は変形すると、K =( -w/r)L + C/rとなることからわかるように、L-K平面に描くと縦軸切片がC/rで、傾きが-w/rの直線だ。Cの値を変えることによって傾き-w/rを維持したまま並行移動する。Y=1を最小費用で生産する生産要素の組(L*,K*)は無数にある等費用曲線の中からY=1等量曲線に接する等費用曲線を選択する。Y=α（αは任意の値）を産出する生産要素の組(L,K)を見つけるためには、L=αL*、K＝αK*となるようにLとKを選べばよい。このとき、生産関数が規模に関して収穫一定に従うことから
α＝F(αL*,αK*)
が成り立ち、かつ、C=ｗL＋ｒK＝wαL*＋ｒαK*はY=αを生産するための最小費用となっている。つまり、Y=αの等量曲線と等費用曲線C=ｗαL*＋ｒαK*とは互いに接するのだ。平均費用＝C/Y=（ｗαL*+ｒαK*)/α＝wL*+rK*は産出量Y=αの値にかかわらず一定、よって平均費用を縦軸に、産出量を横軸にとったときに縦軸ｗL*+rK*の値のところで水平な直線となる。
以上が図・グラフで示した長期平均費用曲線。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/07/21 05:32

長期平均費用を縦軸に、産出量を横軸にとると、水平な直線になります。

このことは以下のようにしてわかります。いま、労働投入量をL、資本（生産設備）投入量をKで表わし、産出量１単位を生産するための最適な労働と資本の組を（L*,K*)と書こう。すると、このときの長期総費用（生産量１単位の長期総費用だから長期平均費用でもある）LC*＝LAC*=wL*+rK*となる。ただし、ｗは賃金、ｒは資本レンタル料。いま、資本と労働をα倍してみよう。このとき、規模に関する収穫一定より、（αL*,αK*)の生産要素の組はα単位の産出量を生産する。このときの長期総費用LC＝ｗαL*＋ｒαK*＝α(wL*+rK*)となるから、長期平均総費用LAC＝LC/α＝wL*+rK*と産出量にかかわらず一定、つまり、縦軸のwL*+rK*ところから水平な直線となる。なお、「長期」とは生産要素の組(L,K)を自由に選択できるような、「長期」の期間を指す。
もう少し厳密には以下のようになりますが、そのまえに、微分・偏微分は習いました？制約下の最大・最小法のためののラグランジェ法は勉強したことはあるんでしょうか？それを聞いてから、先に進めることにします。以下の議論には微分の知識が不可欠だからです。