【数学】高校入試の空間図形の問題を教えてください

下の図のように，１辺の長さが６cmの立方体ABCDEFGHがあります。辺CG，DH，GHの中点をそれぞれP，Q，Rとし，線分BPの中点をSとします。このとき，立体AQSRの体積を求めなさい。

当方，空間図形を苦手としているため，丁寧に解説を書いていただけると助かります。
また，７/28までに教えていただけますと幸いです。
どうぞよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 答えは，18cm^3です。
  答えを導くまでの解説がわかりません。
  よろしくお願いします。

    補足日時：2016/07/27 11:55

No.7 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/07/27 21:03

1.高校入試もピンキリです。

公立のトップ校の独自問題と、普通の高校の問題とでは違うでしょう。どちらかを明確にすべきです。

2.苦手であるなら、図を沢山書くことです。特に練習段階で。
その問題なら、最低8つは書けると思います。12くらい書いても不思議では無いでしょう。

3.失敗を沢山繰り返して、そうして身に付けて下さい。
問題が解けない、苦手だ、もうダメだ、と手を止めるのでは無く、沢山失敗すること。
特に難関校を受ける場合は、パッと見ただけでは誰にも判らないから出題しているんで、判るはずだと思うことが間違いかもしれません。

4.公立トップ校や私立難関校を受ける場合は、塾に行くべきです。
猫も杓子も塾に行け、というのには反対ですが。

5.ABPQは同一平面を形成しているでしょう。これがヒントだろうと思います。
ぱっと見、最も厄介なのはSで、どうにかならないならどうにもならないんで、逆にそこがきっかけだろうと思いました。
ABPQと平行な平面で、Rを通る平面を考えるとどうなるか。
というヒントで、また図がズラズラ描けるはずです。それを描いた人と描いてない人で後々に渡って差が付くでしょう。

この回答へのお礼

いろいろとご指摘いただき、ありがとうございます。
1について
私は、どこの高校の入試問題かを知らないため、明記できませんでした。わかる場合は、明記するようにします。
2について
図をかくことは大切ですね。数学をしていると、よく思います。
3について
失敗は大切なことです。失敗・間違いをして、学んでいくものだと、私も思います。
しかし、今回のこの問題については、解説がなかったため、失敗しただけになっていました。そのため、初めてインターネットで解説を求めてみました。失敗することによって、解説についてもより深く理解できるものだと考えています。
4について
私は中学生、受験生ではありません。数学を学んでいる者です。
5について
ABPQが同一平面上にあることは、自分では思いつきませんでした。たしかに、厄介なのはSだと感じてはいましたが。次回からは気づけるようになるといいなと思います。
また、ABPQと平行で、Rを通る平面についても、考えてみたいと思います。
ありがとうございました！

お礼日時：2016/07/27 22:36

No.6 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2016/07/27 18:04

t_fumiakiさま

きれいな図を使ってのフォローありがとうございました。

この回答へのお礼

わかりやすい説明に加えて、図もいただけて、本当に助かりました。
今回、初めてインターネット上で数学の質問をしましたが、みなさん親切で…とても嬉しかったです！

お礼日時：2016/07/27 22:26

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/07/27 16:55

No.4記載ミス訂正

右上の図で3とあるのは6の間違い。3⇒6。

この回答へのお礼

ミス訂正もありがとうございます。
おかげさまで、期限に間に合いました。

お礼日時：2016/07/27 22:24

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/07/27 16:52

解り易く図で説明。

ベストアンサーは　No.3様　を選ぶ様に！

求める三角錐は図の左上。水色が底面。
底面積は長方形ABPQの半分、AQは三平方定理より3√5。
∴水色面積=9√5

水色三角形は長方形ABPQの面にあるから、高さは、左図の通り、Rから
長方形を延長した面に垂線を立てれば良い。
その様子は図の左下。

それを真横から見た図が右上。
赤の長さを求める。直角三角形が２個有って相似形。
3√20 : 6 = 6 : X
∴X=6/√5

三角錐の体積=(9√5 × 6/√5)/3 =18cm³

この回答へのお礼

お答えいただき、ありがとうございます。
図がとてもきれいで、わかりやすいです！
特に、左下の図を見て、点Rと平面ABPQとの距離が、点Gと平面ABPQとの距離と等しいということがわかりました。
右上の図の3⇒6であることも、ご指摘いただき助かります。また、右上の図で、3√20⇒6√5でしょうか。
図がわかりやすいので、ベストアンサーを差し上げたいところですが、申し出ていただいたように、NO3の方にしました。
本当にありがとうございました！

お礼日時：2016/07/27 22:23

No.3 ベストアンサー 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2016/07/27 14:04

AQ//BPなので△ASQにおいて底辺をAQにとると高さは6

△ASQ=(1/2)×(3√5)×6=9√5
立体AQSR三角錐なので、△ASQを底面として、高さが分かれば求められる
RからASQを通る平面(=ABPQを通る平面)への垂線の足をTとして
RTを求める
図はかけないので説明しづらいけど
BFGC側から見てBPとFGの延長線上の交点Uを考えると相似から求められる
結果、RT=6/√5となり、
(1/3)×(9√5)×(6/√5)=18

わからなければ明日でもよければ図をあげます

この回答へのお礼

お答えいただき、ありがとうございます。
すっきりしていて、とてもわかりやすいです。
おかげさまで、答えを導くことができました！
AQ//BPであること、Uを用いて相似を利用すること、しっくりきました。
本当にありがとうございました！

お礼日時：2016/07/27 22:09

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/07/27 11:52

この手のモノの考え方は2通りある。

1つは指定された形を把握してそこから計算する方法。
もう一つは、元の形（この設問の場合は立方体）から明確な体積を引いていく方法。

自分なら後の体積を削っていく方法を選択する。
例えば…三角形ADQを底とする三角柱ADQBCPの体積を引く。
実際にはもう一つ同じ立方体を四角形BCGFの面にくっつけて考える。
そうすると、線分ASを延長すると、くっつけた立方体の端に到達する。（線分QPを倍に延長した点と交わるんです）
このあと、とても削りやすくなる♪
（この同じ立方体をくっつけて考える…ということを発想できれば簡単に解けるということです）

とりあえずは、この考え方でやってみてください。
時間をかけてもよいです。
自力でやることで実力になります。

この回答へのお礼

お答えいただき，ありがとうございます。
体積の求め方について，たしかに２通りの方法があり，私も後者の方法を使って考えていました。
しかし，立体をイメージしきれずに，途中で挫折してしまいました。
空間図形が苦手なので，これからも時間をかけてしっかり考えていきたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2016/07/27 19:20

No.1 回答者： lovepass 回答日時： 2016/07/27 11:41

答えとかわかりますか？

この回答へのお礼

リアクションをいただき，ありがとうございます。
答えは，18cm^3です。
よろしくお願いします。

お礼日時：2016/07/27 11:54