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定積分を微分した記号d/dxは、なぜd/dxと書くのでしょうか?

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A 回答 (3件)

わざわざ「定積分を」と書いている理由がありますか?


「d/dx」は、「dy/dx」とか「dx/dt」とか、「微分一般」の書き方ですから。

「d○/dx」とは「○をxで微分する」という意味の「書き方」です。

ちなみに、定積分の結果は「定数」なので、xで微分しても、tで微分して「ゼロ」になると思います。
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ライプニッツという微積分を考えた人がつくった記号です


∫もライプニッツが作りました
微積分学はニュートンとライプニッツどっちが先考えたかはもめていますが記法はライプニッツですね。
ニュートンは流率法という概念から微分を作りました
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>なぜd/dxと書くのでしょうか?


ではなく、xxxと書いたほうが良いと思うのですが、といった質問者さんの代案を出してくれないと、答えられませんよ。
あるいは、代案を考えているうちに、質問者さんが、「なるほど、この書き方が一番よくできている」と理解できるかも・・と思います。
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Q微分記号(dy/dx)について質問です。

微分記号(dy/dx)について質問です。

例えば、

dy/dx=x

という微分方程式を考えます。

両辺をxで積分すると、

∫(dy/dx)dx = ∫x dx ・・・(1)

となって

∫dy=∫x dx ・・・(2)

y = (1/2)x^2 + C (Cは積分定数)となります。

ここで質問です。(1)から(2)へ変形するときどうして、(dy/dx)dx = dx 、とできるのでしょうか?

dy/dx は、分数じゃなくて記号だと習ったのに、あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?形式的にしか理解していないのでその計算の意味を教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

∫(dy/dx)dx = ∫dy
は、(右辺→左辺と見れば)置換積分の公式そのものです。


>あたかも普通の数字や文字であるかのように計算(約分)できるのはどうしてですか?
ライプニッツという頭のいい人が、微分・積分の上手い表記法を編み出したからです。習ったとおり、「dy/dx は、分数じゃなくてあくまで記号」です。
とは言ったものの、実際、見かけ上、分数みたいに計算してたいていうまく行きます。高校段階ではなんとなくうまく行くとしか説明しようがありません。大学に行けばdy/dxではなくて、dx、dyといった単体の記号の意味をもう少し深く勉強することになります。

Q微積分 dの意味

∫f(x)dxやdx/dtなどとよく使われるdの意味がよくわからなくなってしまいました。例えば∫f(x)dxの場合
は『関数f(x)をxで積分する』で、dx/dtは『x(関数)をtで微分』という意味はわかるのですが、dにはもっと深い意味があるような気がするのです。数学の授業でdx/dtを先生はdxとdtでばらして使ったりしています。本当にそんなことが可能なのでしょうか。先生はdの意味をよく教えてくれないのです。お願いだから誰が教えてください。

Aベストアンサー

微分とは限りなく小さい範囲のものを考えていく関数の為、
とてつもなく小さいxの範囲の場合はΔx(デルタx)、時間tのとてつもなく小さい範囲はΔtと記載します。

それらを関数の中ではデルタの頭文字dを使い、dxやdtと表しているのです。

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q微分のdx/dtというような表記の仕方がいまいち良くわかりません

記号の意味そのものは良くわかるのですが…
そのdx/dtに掛けたり割ったりする感覚が良くわかりません。
dy/dt×dt/dx=dy/dxのような?感じです
また、高次導関数をd^ny/dx^nと表記する仕組みも良くわかりません。
なぜ分数で言う分子の位置ではdに指数がついているのに分母の位置にではxに指数が付いているのか…まったくの謎です。
数学が苦手なので基礎的な部分から教えてください

Aベストアンサー

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+1)-y(a))/(a+1 - a)
 = ((a+1)^2 - a^2)/(a+1 - a)
 = 2a + 1


では、xの変化をさらに1つ減らした場合を考えます。
それは、xをaからaに変化させるということです。
aがいかなる値であっても、y=x^2のグラフには、たしかに傾きがありますが、
傾きというのは、変化の割合と同じです。
ですから、答えがあるはずです。
そこで、上記と同じく、x=a における変化の割合を求めるとすると、どうなるかと言えば、
(y(a)-y(a))/(a-a) = 0/0 (=不定)
という、わけのわからない結果となってしまいます。
しかし、グラフの傾きも、変化の割合も存在するはずです。

そこで、非常に小さい変化量を、dをつけた記号で表すことを考えます。

xの変化は、 a → a+dx
yの変化は、 y(a) → y(a+dx)

xの変化量は、dx ( = a+dx - a)
yの変化量は、dy = y(a+dx) - y(a)
です。


x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 =(y(a+dx)-y(a))/(a+dx - a)
 = ((a+dx)^2 - a^2)/(a+dx - a)
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
とすることができます。

分子に(dx)^2 がありますが、
dx自体が非常に小さい量ですので、(dx)^2 は、全く無視してよい量となります。
よって、
x=aにおける、xの変化に対するyの変化の割合
 = (2adx + (dx)^2 )/dx
 = 2adx/dx
 = 2a
となります。

これで、x=a のときの dy/dx は、 2a と表せることがわかりました。

ということは、いかなるxの値についても、
dy/dx = 2x
であるということです。

以上のことで、
・x^2 を微分したら 2x になること
・dy/dx は、xの変化に対するyの変化の割合
の意味がおわかりになったと思います。


そして、
たとえば、y、t、x の3変数があって、
ある地点において、
tの変化量のxの変化量に対する割合が4で、
yの変化量のtの変化量に対する割合が3だとしましょう。
すると、xが1変化するのに対してyは12変化します。
dt/dx = 4
dy/dt = 3
dy/dx = 12 = 3 × 4 = dy/dt・dt/dx


なお、
高次導関数の表記については、単なる約束事だと思っておけばよいです。
素直に書けば、
1回微分は、dy/dx
2回微分は、d(dy/dx)/dx
3回微分は、d(d(dy/dx)/dx)/dx
ということになりますが、これでは見にくいので。


以上、ご参考になりましたら幸いです。

こんばんは。

dy/dx は、ある瞬間(xの微小変化)における、
xの変化量に対するyの変化量の割合です。

たとえば、y = x^2 という関数のグラフを例に取りますと、


xがaからa+2に変化するときの、xの変化に対するyの変化の割合
 = (y(a+2)-y(a))/(a+2 - a)
 = ((a+2)^2 - a^2)/(a+2 - a)
 = (4a + 4)/2
 = 2a + 2


xの変化の幅を1つ減らせば、

xがaからa+1に変化するときの、xの変...続きを読む