固有電力の質問

下図の内部抵抗を含む時の最大電力の計算で分母を小さくすれば良いのはわかるのですが、なぜわざわざ4rを出したのでしょうか。確かに4rを出さなければ√R+r/√R=0を解くとR=-rとなり不自然ですが、分母を最小にするならばこれで計算しても良いはずです。なぜマイナスになるのか、解説お願い致します。

No.1 回答者： m-jiro 回答日時： 2016/09/11 00:43

√R+r/√R=0 としたのではPを求める式の分母がゼロになり数式が成立しません。

また R=-r では抵抗値が負になります。負数で表す抵抗が存在しますか？
(発電する場合は負の抵抗で表すことはありますが・・・)

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/11 01:49

＞なぜわざわざ4rを出したのでしょうか。

高校数学で習う「平方完成」というのをご存知ですか？
未知数を「二乗項」の中に閉じ込めて、それが「任意の未知数に対して正になる」という性質を利用する手法です。
二次関数のグラフを書くときに、「頂点」の座標を求めるのにもよく使います。

この問題の場合には、分母の
　R + 2r + r²/R
の最小値を求めたいわけです。
　R + 2r + r²/R
= (√R)² + 2r + (r/√R)²
= (√R + r/√R )² > 0
で最小値は求まりません。
　√R > 0, r > 0 から r/√R >0 ですから、√R + r/√R >0、従って (√R + r/√R )² > 0 という「あたりまえ」のことしか分かりません。（根拠もなく √R + r/√R = 0 などとしてはいけません。それはあり得ませんから）

ここでは、同じ元の式から

　R + 2r + r²/R
= (√R - r/√R )² + 4r

とすれば、√R = r/√R のとき最小値 4r になることが分かります。このとき R=r というわけです。
　ちょっと「技巧的」な方法ではありますが、確かに「最小値」は求まります。

その他の方法で「最小値」を求めるには、Y = R + 2r + r²/R の 変数Rに対する「極値」を探すために微分して
　dY/dR = 1 - r²/R²
従って極値をとる R は　dY/dR = 0　より
　　1 - r²/R² =0 R>0, r>0 なので　R=r
このとき、R>0の範囲では
　d²Y/dR² = 2r²/R³ > 0
であることから、R=r のとき Y が「極小」であることが分かります。（面倒なので省略しますが、R>0の範囲での「最小」になります）

この回答へのお礼

丁寧に解説していただきありがとうございました。

お礼日時：2016/09/11 18:41

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/09/11 14:01

>√R+r/√R=0を解くとR=-rとなり不自然ですが、

>分母を最小にするならばこれで計算しても良いはずです。

「よいはず」って、現実に有り得ない変域を扱っても
無意味です。もしあれば無限大の電力が取り出せるので
最大は間違いないでしょう。
でも可変抵抗器にそんな目盛は付いてません。

平方完成でRを含まない項を平方の外に出すのはなかなか巧妙
なやり方だとは思いますが、素直に微分で解くのが正攻法だと
思います。

dP/dR={(R+r)^2-2R(R+r)}/(R+r)^4=(r^2-R^2)/(R+r)^4
従ってR>0での極大点はr=R

と解くのが普通です。