高校数学、共通解問題、論理

（問題）
２つの２次方程式x^2+px+q=0,x^2+qx+p=0は共通の解を１つだけもち、一方の方程式のみ重解をもつ。
このとき、定数ｐ、ｑの値を求めよ。
（問題集の解答、解説）
x^2+px+q=0①x^2+qx+p=0②
①,②を連立する。①－②より、（p-q)(x-1)=0∴p=qまたはx=1③
(ア）p=qのとき、①，②は一致し、一方の方程式のみ重解を持つという条件に反する。
（イ）x=1のとき、共通解x=1を①,②に代入すると、どちらも1+p+q=0④
となる。
次に、①②の一方のみが重解を持つための条件を求める。
①が重解を持つ⇔p^2-4q=0⑤
④とあわせると、p^2-4(-p-1)=0∴(p+2)^2=0∴p=-2∴q=1
このとき②はｘ^2+x-2 =0∴ｘ＝１,-2であり、一方のみ重解を持つという条件を満たす。
次に、②が重解をもつ⇔q^2-4p=0⑥
①,②および⑤,⑥のp,qの対称性より、
(p,q)=(1,-2)も条件を満たす。
以上より、(p,q)=(-2,1)(1,-2)

（解説部分）
③は①かつ②の必要条件である。また、④は①かつ②の必要条件である。
（疑問）
問題の解答自体はできたのですが、問題集の解答を読んで、自分が論理というものを理解できていないのではないかと不安になりました。どなたか教えてください。
＜１＞④は①かつ②の必要条件というのがわかりません。
①かつ②⇒①－②すなわち③はわかるのですが、①かつ②の必要条件である③を①と②それぞれに代入した④が①かつ②の必要条件となることがわかりません。
＜２＞④を導いた後、次に、①②の一方のみが重解を持つための条件を求める。とあり、①と②それぞれが重解を持つ条件を求め、
④を⑤へ代入して、p,qが求まり、その後、②が重解を持たないことの確認をして、
ｐ,ｑは題意をみたすとしています。
④を⑤へ代入しても、④は①かつ②であるための必要条件ですから、①かつ②を満たすとは限らないと思います。
にもかかわらず、解答では、その確認をしていません。
この問題の論理の流れというものが見えません。教えてください。
（この問題の（p,q)が最終的に題意を満たしているとどこで判断できるのでしょうか？）

質問者からの補足コメント

• 

  「一方の方程式のみ重解を持つ」から p≠qが必要です
  ＞ここはどうやって考えているのでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/10/01 13:23

No.3 回答者： tak04 回答日時： 2016/10/02 18:50

>>④は①かつ②であるための必要条件ですから、①かつ②を満たすとは限らない

④は①=②を出発した式なので①と②を満たします。

また、x=1が出た時点で一方が(x-1)^2=0 ,p=-2,q=1になり、対称性からp=1,q=-2も得る。
このときもう一方は(x-1)(x+2)=0になるので条件を満たしている。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/01 15:28

>「一方の方程式のみ重解を持つ」から p≠qが必要です

>＞ここはどうやって考えているのでしょうか？

p=qならば①と②は同じになります。従って片方のみ
重解になるということはあり得ません。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/01 07:37

＞④は①かつ②の必要条件というのがわかりません

必要条件かどうかの判定は簡単で、④が満たされなけらば
「①かつ②かつ一方の方程式のみ重解を持つ」
が満たされないことを確認すればよいのです。

「①かつ②かつ一方の方程式のみ重解を持つ」では
「一方の方程式のみ重解を持つ」から p≠qが必要です。
①かつ②が成り立つには x=1 又は p=q が必要です。
従って、「①かつ②かつ一方の方程式のみ重解を持つ」は
x=1 が必要です。

1+p+q≠0 とすると x=1 ではありませんから。
「①かつ②かつ一方の方程式のみ重解を持つ」は
成り立ちません。従って
1+p+q＝0は「①かつ②かつ一方の方程式のみ重解を持つ」
の必要条件です。

>④を⑤へ代入しても、④は①かつ②であるための必要条件ですから、
>①かつ②を満たすとは限らないと思います。
>にもかかわらず、解答では、その確認をしていません。

得られたp, q はあくまで必要条件なので、
「①かつ②かつ一方の方程式のみ重解を持つ」もののみに
p, q を絞る必要がります。

で、回答では
>このとき②はｘ^2+x-2 =0∴ｘ＝１,-2であり、
>一方のみ重解を持つという条件を満たす。

と確認しているので、問題ありません。