長方形に対角線をひいた時にできる三角形の面積

小学校の算数の問題に関してです。すごく基本的なところでつまずいています。

図形の面積を求める問題で、正六角形の中に長方形が書いてあって(図的には六角形の中が長方形＋２個の三角形に分かれている)その長方形部分の面積を求めなさいという問題がありました。問題で与えられているのは正六角形の面積だけです。

答えには正六角形の面積÷6×4で求められるとあったので、長方形に対角線を引いて中を4つの三角形に分割して全体を6つの同じ面積の三角形の集合と考えるという事だと理解しました。

本題はこの問題そのものではなくて、「長方形を対角線で分割した時にできる4つの三角形の面積は同じ」というところです。この部分が本質的に理解できてません。

対角線を1本引いた時に長方形が二分割されるのは分かるとして(理屈というより視覚的に)そこから更に反対側の対角線を引くと2つの三角形が二分割・・・・・・されてる？という調子で心の底から分かった気がしないです。

対頂角の向かいに同士にある三角形が同じ面積になっているのは分かります。(これも理屈でというより視覚的に・・・・・・)　しかし2本目の対角線が更に三角形を二分割して全部の三角形が同じ面積になっているという事がどうしてもピンとこないんです。

方眼紙の目盛りがあるなど、三角形の底辺や高さが分かっている時はそれぞれの面積を求める事によって確かに同じ面積になってるなといやでも確認できますが、それらの数値がないと途端にピンとこなくなります。1/2 ×1/2で1/4で良いんじゃないの？と納得しようとしましたが、イメージ上、対角線が分割してるのは元の長方形・・・としか思えず思考が止まります。

基本的な理解の仕方から教えていただけたら助かります。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。分かりにくいかもしれないのでピンぼけですが問題図の写真をのせてみました。ピンクの長方形が求める部分です。中の対角線は自分で引きました。

  
    補足日時：2016/10/08 21:59

• ベストアンサーは一番簡潔に理屈が理解できたのを選びました。
  気分的には図解して下さった回答も同じくベストアンサーに選びたいです。
  ありがとうございました。

    補足日時：2016/10/10 13:19

• すみません。ベストアンサー選んだつもりで出来ていませんでした。でもそのおかげで回答をもらえたので補足します。分からなかったことは、長方形の中の対角線を底辺と考えた場合、形の違う三角形同士の高さが同じと言えるかどうかでした。→自分で書き込みをした図を追加しました。図の中の①と②と番号をつけた三角形を、太めに書いた対角線を底辺とみなした時に２つの三角形の高さは同じと考えてよいか。No2の回答で「底辺が等しく、高さが共通の三角形の面積は等しい」とあったので、対角線を底辺と考えれば高さが同じと見なせるのかと思ったんですが・・・違ったでしょうか。

  
    補足日時：2016/10/11 01:14

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  お二人ともありがとうございます。何回もすみません。
  回答の雰囲気がちょっと違ってNo7は高さ同じで◎、No8はその証明は難しいとおっしゃっていただいているように思えます。
  結論的には、この図の対角線を底辺に高さのことを考えない方がいいでしょうか。
  新しくインターネットで見つけた平行四辺形の分割図と似て、平行な2線(台形)の同じ1点頂点にしているので同じ高さに見える気はするのですが、それだけでは証明にはならないですかねやっぱり。
  自分の中で高さの見なし方があやふやかもしれません。
  あまりここにこだわっても仕方ないのでこの質問はこれで最後にします。

  
    補足日時：2016/10/12 19:50

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  bendokuさんとkairouさん、たくさんの回答ありがとうございました。特にbendokuさん最後までありがとうございます。回答よく読み直します。ベストアンサーが選びにくくなったので選ばないで回答締め切りたいと思います。実際はどちらもベストアンサーな気持ちです。ありがとうございました。

    補足日時：2016/10/13 16:20

No.1 回答者： bendoku 回答日時： 2016/10/08 21:14

左上の緒各三角形は、正三角形の半分の大きさです。

この直角三角形が二つで、正三角形ができます。この正三角形を6個並べると、正六角形ができます。最初の、直角三角形を並べると、正六角形ができます。これで、面積が分かるのではないでしょうか。

この回答へのお礼

すごく正確に絵を再現してくださってありがとうございました。書いてもらった通りに分轄し直したら、同じ12個の三角形で分割できたのに気づいてなるほどと思いました。発想の転換がひとつ出来た気がします。

お礼日時：2016/10/08 22:23