約束記号の問題

中学受験の算数の問題についてお願いします。

問題
2数の和を、それぞれの最大公約数でわることを考えます。たとえば、12と8の最大公約数は4なので、(12＋8)÷4=5となります。このことを、12⊕8=5と表します。また、2数の積を、それらの最小公倍数でわることを考えます。たとえば、12と8の最小公倍数は24なので、(12×8)÷24=4となります。このことを12⊗8=4と表すことにします。

次の空らんア、イにあてはまる2けたの整数を、それぞれ1つ答えなさい。
①(16⊕ア)⊗14=7
②(54⊗30)⊕(48⊗イ)=7


「次の計算をしなさい。60⊕84」という簡単な計算問題ならよいのですが、こういう応用問題になるとどうしたらいいのか分からなくなります。解答には①→「16⊕アは7の倍数で奇数なので16⊕アが奇数になるものについて調べる」とあって、12をはじめ答えが複数あげてありますが、まず「16⊕アは7の倍数で奇数」のところからよく分からないです。

①の問題だけでよいので、どんなふうに考えていったらいいのか教えてください。

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/10/21 22:48

で、たぶん、あくまでたぶん、ですが、

中学入試で公約数公倍数の問題が出たら、ひょっとすると、二つの数があれば、ｂを最大公約数として、ａ×ｂとｃ×ｂのような形にして問題を考えてみる、そこまではすっとやってしまう、そのくらいのことは必要なのかもしれません。
それで通用しないなら、最大公約数では無く公約数にするとか。
まぁすると、
16⊕アは、(16×1)⊕(サ×1)、(8×2)⊕(シ×2)、(4×4)⊕(ス×4)、(2×8)⊕(セ×8)、(1×16)⊕(ソ×16)、と見ることができます。
それぞれ計算すると、16⊕ア=(16＋サ),(8＋シ),(4＋ス),(2＋セ),(1＋ソ),となるでしょう。
12⊗8＝(3×4)⊗(2×4)＝(3×4)×(2×4)÷(3×4×2)
などの計算をしてみて、最大公約数であることを見つけたら、
(16＋サ)と14の最大公約数が7であるような物を探すと良いのでしょう。
5,12,19,はすぐに見つかるし、12が却下というのもすぐに判るでしょう。
公約数公倍数とは違う問題は、また全然別でしょうけど。

ただし、3番の議論抜きに、このたぶん4番の議論だけを「暗記しましょう」というのはお勧めできかねます。
あくまで試行錯誤があって、その先に何かが見えてくるんで。
また、ここまで理解できれば、②も、数字がおどろおどろしいだけで、大した問題では無くなるでしょう。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/10/20 12:58

これと全く同じ意味の約束記号の問題、

の解き方が知りたいのでは無くて、
何らかの約束記号問題が解けるようになりたい、ということですよね。
中学受験には詳しくありませんので、どのくらいの分量が出題され、どのくらいのスピードで片付けなければならないかが判りませんが、少なくともその問題であれば、アに適当な数値を入れて、実査に計算をしてみて、様子を見るでしょうね。
少なくとも私のオツムでは、抽象的なまま扱って、何らかの答えが出るとは思えません、
何か数字を入れて計算してみると、それで見えることがあるはずです。

例えば、20を入れてみましょう。
16⊕20は、最大公約数が4なので、(16＋20)÷4＝9でしょう。
9⊗14は、最小公倍数が9×14＝126なので、9×14÷9×14＝1でしょう。
すると、最後が＝7になるには、
カ⊗14＝7になるようなカでなくてはならない、ということになります。
ここをもうちょっと遊んでやって、カ＝12だとすると、最大公約数は2、最小公倍数は2×6×7＝84、となります。
つらつら考えるに、まずは当たり前ですが、最小公倍数と最大公約数ですから、因数分解が必要だし、それぞれを出してやる必要がありそうです。
すると、12⊗14は、(6×2)⊗(7×2)で、(6×2)×(7×2)÷(6×7×2)＝2ということになりそうです。
具体的に数値を入れて遊んでみると、少し見えてくる。
これをもう少し「一般的にしてやる」と、
二つの数の最大公約数をｋ、それ以外をｇ₁、ｇ₂とすると、最大公約数ｋに対して、最小公倍数はｇ₁×ｇ₂×ｋとなります。
すると、(ｇ₁×ｋ)⊗(ｇ₂×ｋ)＝(ｇ₁×ｋ)×(ｇ₂×ｋ)÷(ｇ₁×ｇ₂×ｋ)＝ｋで、つまりｇ₁×ｋ⊗ｇ₂×ｋは最大公約数を求めていることになります。
いじってみると判ります。
一方、(ｇ₁×ｋ)⊕(ｇ₂×ｋ)＝{(ｇ₁×ｋ)＋(ｇ₂×ｋ)}÷ｋ=ｇ₁＋ｇ₂
ということになります。
これを、何だか解法が無いかなぁ、解法を当てはめよう、とすると、手も足も出ないのではないかと。
具体的に数値を入れてみて、そこから発見できたことから、一般的な事柄に持ち込んでみる。

元の問題に戻ってみると、
カ⊗14=7
とは、カと14の最大公約数が7である、という意味。
例えばカが7ならカ⊗14=7が成り立つ。
しかし、カが7×2だと、カ⊗14の最大公約数は14になり、成り立たない。7×4でも7×6でも、最大公約数は14になる、7の倍数でも偶数(2の倍数)だと、最大公約数が14になってしまうので、カは7の倍数で奇数である。(２の倍数では無い)

すると、(16⊕ア)＝7となるようなアは、まず、ｇ₁＋ｇ₂＝７だから、(ｇ₁,ｇ₂)=(1,6),(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)
の何れかでしょう。0はｇ₁×ｋかｇ₂×ｋを０にしてしまうので、0ということはありません。
(ｇ₁,ｇ₂)=(1,6)の場合、16＝ｇ₁×ｋ＝1×ｋだからｋ＝16。ｇ₂=6だから、ア＝ｇ₂×ｋ＝6×16＝96。
(ｇ₁,ｇ₂)=(2,5)の場合、16＝ｇ₁×ｋ＝2×ｋだからｋ＝8。ｇ₂=5だから、ア＝ｇ₂×ｋ＝5×8＝40。
(ｇ₁,ｇ₂)=(3,4)の場合、16＝ｇ₁×ｋ＝3×ｋだが、これを満たすｋは存在しないので、これは無い。
(ｇ₁,ｇ₂)=(4,3)の場合、16＝ｇ₁×ｋ＝4×ｋだが、ｋ＝4。ｇ₂=3だから、ア＝ｇ₂×ｋ＝3×4＝12。
(ｇ₁,ｇ₂)=(3,4)の場合、16＝ｇ₁×ｋ＝5×ｋだが、これを満たすｋは存在しないので、これは無い。
(ｇ₁,ｇ₂)=(6,1)の場合、16＝ｇ₁×ｋ＝6×ｋだが、これを満たすｋは存在しないので、これは無い。
ｇ₁は、16の約数でなければならない。
(16⊕ア)＝21だと、
(ｇ₁,ｇ₂)=(1,20)の場合、k＝16。ｇ₂=20だから、ア＝20×16＝320。
(ｇ₁,ｇ₂)=(2,19)の場合、k＝8。ｇ₂=19だから、ア＝19×8＝152。
(ｇ₁,ｇ₂)=(4,17)の場合、k＝4。ｇ₂=17だから、ア＝17×4＝68。
(ｇ₁,ｇ₂)=(8,13)の場合、k＝2。ｇ₂=13だから、ア＝13×2＝26。
(ｇ₁,ｇ₂)=(16,5)の場合、k＝1。ｇ₂=5だから、ア＝5×1＝5。
(16⊕ア)＝35だと、
(ｇ₁,ｇ₂)=(1,34)の場合、k＝16。ｇ₂=34だから、ア＝34×16＝??。
(ｇ₁,ｇ₂)=(2,33)の場合、k＝8。ｇ₂=33だから、ア＝33×8＝??。
(ｇ₁,ｇ₂)=(4,31)の場合、k＝4。ｇ₂=31だから、ア＝31×4＝124。
(ｇ₁,ｇ₂)=(8,27)の場合、k＝2。ｇ₂=27だから、ア＝27×2＝54。
(ｇ₁,ｇ₂)=(16,19)の場合、k＝1。ｇ₂=19だから、ア＝19×1＝19。
などとなります。
どれか二桁の答えを一つ書いておけば良いのでしょう。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/19 15:10

中学受験と云う事は、現在小学生ですよね。

以下が理解できるか否かが解りませんが。

２数の最小公倍数と最大公約数を掛けると、元の２数の積と同じになります。
（証明はかなり難しくなりますが、解り易い数字で確かめてみて下さい。）
つまり、「12と8の最小公倍数は24なので、(12×8)÷24=4となります。このことを12⊗8=4と表すことにします。」
この文章は、12と8の最小公倍数が24で、最大公約数が4と云う事を表しています。

16+㋐を、16と㋐との最大公約数で割った答をＡとします。
①はＡ×14を最小公倍数で割った答が７と云う事です。
従って、Ａと７との最大公約数が7という事です。
若しＡが偶数ならば最大公約数が14になる筈です。

以上からＡ（16⊕ア）は７の倍数で且つ奇数でなければなりません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/18 23:44

「2数の積を、それらの最小公倍数でわる」と, でてくるのは最大公約数だったりする....