正規化と標準正規分布

ある試験で10名の点数は以下のとおりであった。（写真）
「連続正規分布するとして、65点以下の人がいる確率は何%か？」
期待値が50、標準偏差が10.95445と分かったのですが、65点以下の人がいる確率とはどう計算すれば求まるでしょう？

質問者からの補足コメント

• すみません
  もし、65点以上と聞いている場合は0.5-0.4147ということになりますか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/27 15:53

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/27 12:01

正規分布の基本的な性質を理解されていますか？

下記サイトにあるように、標準偏差を σ と書いて
・平均値 ± σ の範囲に、全体の 68.3% が入る。
・平均値 ± 2σ の範囲に、全体の 95.4% が入る。
という分布です。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

σ = 10.95 ということなら（信用して検算はしません）、「65点」は
　平均値 + 1.37σ
（ 50 + [ (65 - 50)/10.95 ]*σ ）
ということですから、標準正規分布表（例えば下記。テキストの巻末などに必ず載っているはず。平均値=0、σ=1 に規格化した正規分布）より、Z=1.37 となる確率（斜線の面積）を読み取ると
　0.4147
なので、これが「50～65点の人の確率」ということです。
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_norm …

　標準正規分布表の「平均値以下」（問題の場合には 0～50点の人の確率）の確率 0.5 と合わせて、

　　65点以下の人確率 = 0.5 + 0.4147 ≒ 0.915

ことになります。
（表から、「60点以下」の確率を足し合わせると「0.9」になるので、「65点以下」ならこれより少し大きいことが想定されますから、感覚的にもこんな値でよさそうですね）


　正規分布の基本的な特性（標準偏差の何倍の範囲内に、全体のどれだけが含まれるか）と、標準正規分布表の読み方という、「統計の基本中の基本」を問うている問題ですので、しっかり復習して理解してください。

　先に出て来る「サンプルから母集団の推定」とか「検定」なども、この考え方に基づくものですから。
（「有意水準」5%とは、平均値の両側に「95％」が存在する「1.96σ」の範囲を計算することになる）

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/27 17:07

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

＞もし、65点以上と聞いている場合は0.5-0.4147ということになりますか？

そうです。

こういう標準正規分布表もあります。これなら一発で出てきますね。
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

z=1.37
のところを見れば「0.085344」です。「0.5-0.4147」と同じことです。