確率変数の問題について

確率変数の問題(正規分布の表を使って解く問題です)なのですが、解き方及び答えがわからないため質問させていただきました。宜しくお願い致します。
確率変数XがN(5,9)に従う時、以下の確率を求めよ。また、確率がわかっているものは実数cを求めよ。

Pr(5＜X)
Pr(2＜X＜8)
Pr(X＜c)＝0.9
Pr(X＞c)＝0.99

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/18 22:26

正規分布の特性を習っていませんか？

「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称にダラ下がりの分布で、標準偏差を「σ」として、
　　平均値± σ　の範囲に、全体の 68.3% が入る
　　平均値±2σ　の範囲に、全体の 95.4% が入る
　　平均値±3σ　の範囲に、全体の 99.7% が入る
という特性があります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

この正規分布の特性をきちんと理解しないと、これから先の「標本から母集団の推定」とか「検定」で何をやっているのかチンプンカンプンになりますよ。悪いことは言いませんので「正規分布」はしっかりマスターしてください。

「確率変数XがN(5,9)に従う」とは、平均値=5, 分散=9 つまり 標準偏差=3 ということです。
上にあてはめれば
　　5 ± 3 の範囲に、全体の 68.3% が入る
　　5 ± 6　の範囲に、全体の 95.4% が入る
　　5 ± 9　の範囲に、全体の 99.7% が入る
ということ。

これだと、平均値や標準偏差ごとに「表」が必要なので、「平均値=0, 標準偏差=1 」に規格化したのが「標準正規分布」です。N(μ, σ^2) に対して
　Z = (X - μ)/σ
と変数を変換すると N(0, 1) になります。

この「標準正規分布」がテキストの巻末などに載っているはずです。ただの「正規分布表」ではなく「標準正規分布表」であることに注意してくださいね。
ネット上にもいろいろあります。必ず「図」が付いていると思いますが、どの部分の確率を表わしているかに注意してください。
↓(a) 中央部の確率で表示
http://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_norm …
↓(b) 端部の確率で表示
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html


問題の場合は、標準正規分布に変換して表を参照します。
　Z = (X - 5)/3　　　①
ですから

(1) Pr(5＜X)　→　Pr(0<Z)
(2) Pr(2＜X＜8)　→　Pr(-1<Z<1)
(3) Pr(X＜c)＝0.9　→　Pr(Z<3c+5) = 0.9
(4) Pr(X＞c)＝0.99　→　Pr(3c+5<Z) = 0.99

ということになります。

(1) 明らかに全体の半分なので、表を参照するまでもなく
　　Pr(0<Z) = 0.5

(2) 標準偏差の特性から
　　Pr(-1<Z<1) = 0.683

(3) これは「表の中」の数値が表(a) なら 0.4、表(b)なら 0.1 となる Z を読み取って
　　Z ≒ 1.28
よって、①より
　　(c - 5)/3 = 1.28
従って
　　c = 8.84

(4) これは「表の中」の数値が表(a) なら 0.49、表(b)なら 0.01 となる Z を読み取って
　　Z ≒ 2.32
よって、①より
　　(c - 5)/3 = 2.32
従って
　　c = 11.96