1辺の長さが3の正四面体OABCがあり、頂点Oから△ABCに下ろした垂線の足をHとする。また、辺OA

1辺の長さが3の正四面体OABCがあり、頂点Oから△ABCに下ろした垂線の足をHとする。また、辺OAの中点をＭ、辺OBを2：7に内分する点をNとする。(1)AH＝BH＝CHであることに注意するとBHは何になるか。

(2)OHの長さを求めよ。

(3)四面体OABCの体積を求めよ。

(4)四面体OＭＮＣの体積を求めよ。


答えは(1)BH＝√3、(2)OH＝√6、(3)9√2/4、(4)√2/4
です。

それぞれなぜこのような答えになるがわかりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/07 11:19

３次元の立体の図を書いてよく考えればわかります。

(1) 「何になるか」って、結局長さを求めよということですか？
　「AH＝BH＝CHであることに注意すると」ということで、Hは「△ABC の外接円の中心」ということです。
　ということで、正弦定理より
　　AB/sinC = BC/sinA = CA/sinB = 2R
　AB=BC=CA=3, sinA=sinB=sinC=sin60°=√3 /2 より
　　R = AH＝BH＝CH = 3 /(√3 /2) * (1/2) = √3

(2) OA=3, AH=√3 より、三平方の定理から
　　OH = √[ 3^2 - (√3)^2 ] = √6

(3) 四面体OABCの体積は、底面を△ABC、高さを OH とする三角錐なので、その体積は
　　V = (1/3) * △ABC * OH
です。
　△ABC は底辺の長さが 3、高さが 3√3 /2 なのでその面積は
　　△ABC = (1/2) * 3 * (3√3 /2) = 9√3 /4
よって
　　V = (1/3) * (9√3 /4) * √6 = 9√2 /4

ここまでは簡単ですね。難関は(4)。

(4) 四面体 OMNC の体積を求めるには、四角錘の「底面」と「高さ」を知る必要があります。
　△OBC を底面にとれば、Aまでの高さは OH と同じ √6 で、Nは OH の中点なので、Hまでの高さはその半分の √6 /2 になります。
　△OMC は、△OBC の一部なので、Hまでの高さは同じ √6 /2 であることが分かります。

　ならば、△OMC の面積が分かれば四面体 OMNC の体積が求まります。
　△OMC の面積は、△OBC の底辺を OB としたときの高さが 3√3 /2 なので、△OMC の底辺を OM としたときの高さも同じ 3√3 /2 であることが分かります。底辺 OM = 3 * 2/9 = 2/3 ですから
　　△OMC = (1/2) * (2/3) * (3√3 /2) = √3 /2

　従って、四面体 OMNC の体積は
　　(1/3) * △OMC * 高さ = (1/3) * (√3 /2) * (√6 /2) = √2 /4

　落ち着いて、「底面」と「高さ」の関係を見極めれば解けると思います。