掛け算した結果のあまりは、もとの数のあまり同士を掛け算した結果に合同？

次の証明方法を教えてください
掛け算した結果のあまりは、もとの数のあまり同士を掛け算した結果に合同である

質問者からの補足コメント

• すみません。少し書き間違えていました。
  x≡a(mod n) → x=nα+a
  y≡b(mod m) → y=mβ+b
  (nα+a)(mβ+b)=nαmβ + nαb + amβ + ab となって式がまとめられません。
  この場合は成り立たないのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/01/08 09:08

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/07 18:30

x≡a(mod n) → x=nα+a

y≡b(mod n) → y=nβ+b
とすると
xy=(nα+a)(nβ+b)=n●+a･b
∴xy≡a･b(mod n)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
4行目をやさしく教えてください

お礼日時：2017/01/07 20:49

No.2 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/07 21:29

>>4行目をやさしく教えてください

xy=(nα+a)(nβ+b)=nα･nβ + nα･b + a･nβ + a･b =
n(α･nβ + α･b + a･β) + a･b

(α･nβ + α･b + a･β) は整数だから●と置くと
n(α･nβ + α･b + a･β)＝n●

∴xy＝n● + a･b
xyをnで割ると商が整数●で余りがa･b　と言う意味。

----------------------------------------------
x≡a(mod n) → x=nα+a
左辺はxをnで割ると余りaと言う意味の記号≡
右辺はxをnで割ると商がαで余りがa　を表す。
余りだけに着目すると　x≡a(mod n) 、 x=nα+a　は同じ意味。
(7≡1(mod 3) → 7=3･2+1)

y≡b(mod n) → y=nβ+b　も同じで
余りだけに着目すると　x≡b(mod n) 、 x=nα+b　は同じ意味。

xy＝n● + a･b も余りに着目すると
xy≡ab(mod n) 、 xy=n●+a･b　は同じ意味。

この回答へのお礼

丁寧な説明でありがとうございます。
理解できました。
次のように割る数がn,mのように異なる場合は成り立たないのですか？
x≡a(mod n) → x=nα+a
y≡b(mod m) → y=nβ+b

お礼日時：2017/01/08 09:02

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/08 12:40

>>次のように割る数がn,mのように異なる場合は成り立たないのですか？

x≡a(mod n) → x=nα+a
y≡b(mod m) → y=nβ+bでは無く、y=mβ+bだから、成り立たない。

この回答へのお礼

「掛け算した結果の同じ除数でのあまりは、もとの数のあまり同士を掛け算した結果と同じ余りになる」ということですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/01/08 13:43