数学の解説を教えてください

答、解説を教えてください！

問い、点Ｏを中心とする半径の大きさが互いに異なる三つの円と、点Ｏから放射状に広がる8本の線で構成された道がある。円と直線の交わる点を交差点と呼ぶことにする。Ｐは点Ｏから出発し、放射状の道をＯから遠ざかるように動くか、あるいは円状の道を時計回りに動くものとする。ただし、同じ交差点を二度は通らないものとする。例えば、Ｐが最短の経路で図中のXに達するのは、線分ＯXを直進するときであり、このとき途中に通過する交差点は2個である。以下の問いにこたえよ。
（1）Ｐが途中3個の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りあるか。
（2）Ｐが途中7個の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りあるか。
（3）Ｐが途中7個以下の交差点を通って交差点Xに到着する道順は何通りあるか。
（4）Ｐができるだけ多くの交差点を通ってXに到着するとき、途中何個の交差点を通過するか。

No.1 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/10 18:04

条件の確認

円周上は時計回りのみの為、出発した方向がOXから反時計回りに回った数だけ、直線OXより回数が増える。
最小で2こ、最大で全て（8*3-1=23こ）の交差点を通過する。

(1)
最初に下方向に出発するのは確定。
円周上をどのタイミングで時計回りに回るかによって３つのパターンが存在する。
よって3通り。

別解
放射状の道によって1つ目の円から3つ目の円までどのタイミングで外向きに進むかのパターンを考える。
1つ目から2つ目と2つ目から3つ目を同じ直線で進むパターンは2パターン存在する。
別の直線で進むパターンは2*1/2＝1パターン存在する。
（2*1/2とは、２つから1つ選び、残りから１つ選ぶ組み合わせが２＊１だが、円周上は時計回りにしか進めない為、÷２する必要がある）
よって２+１で３通り。

(2)
最初に上方向に出発するのは確定。
１つ目の円から３つ目の円まで同じ直線で進むパターンが６パターン。
違う直線で進むパターンは6*5/2＝15パターン
よって6+15＝21通り存在する。

(3)
交差点をN回通るパターンは
同じ直線で進むパターンがN-1通り
別の直線で進むパターンが(N-1)*(N-2)/2通り
合わせてN-1+(N-1)*(N-2)/2＝(N-1)(1+(N-2)/2)
＝(N-1)N/2
※この方法で計算できるのは、円周上を1週しない場合（N＜10）のみである

7回以下と言うことは3回～7回なので
Σ(N-1)N/2（N=3~7）
＝3+6+10+15+21
＝55通り。

(4)
全ての交差点を通過できるので、24個からXの位置を除いて23個の交差点を通過できる。

具体例としては、Xから逆に通ればよい。
上を北として説明すると、
3つ目の円で交差点を可能なだけ多く通るには、右回りでXまで一番遠い、西端（Aから西へ３つ目）の交差点から右回りに進めばよい。
3つ目の円に入る時に西橋の交差点を通るには、西へ2つ目の交差点で2つ目の円を終らせる必要がある。
同様に西へ2つ目の交差点を終点として2つ目の円の交差点を可能なだけ多く通るには、北西へ2つ目の交差点から右回りに進む必要がある。
よって北西へ2つ目の交差点を通って1つ目の円から2つ目の円に行く必要があり、
1つ目の円を北西へ1つ目の交差点で終らせる必要がある。
北西へ1つ目の交差点で終らせるように1つ目の円の交差点を可能なだけ多く通るには、北へ1つ目の交差点から開始する他無い。
よって、初め北へ進み、各円周上を1週する手前の交差点で次の円へ移動することによって、全ての交差点を通りながらXへ向かう事ができる。