√n²+21が整数となるような自然数nをすべて答えなさい。 答え分かるかた解説つきでお願いしますm(

√n²+21が整数となるような自然数nをすべて答えなさい。

答え分かるかた解説つきでお願いしますm(_ _)m

No.4 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/06 06:23

x=√(n²+21)と置くと

x²=n²+21と書ける。

変形すると
x² - n² = 21
(x-n)(x+n)=3･7　or 1･21

=3･7の場合
これを満たす、(x,n)の組み合わせは(5,2)

=1･21の場合
これを満たす、(x,n)の組み合わせは(11,10)
∴　n = 2,10

この回答へのお礼

1番わかりやすかったです。ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2017/03/06 21:15

No.5 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/06 13:43

√(n^2+21)が整数なら、n^2+21=m^2＝(n+k)^2(m,kは整数)ということです。

この時、mが負の値でも成り立つが、mの符号は^2で打ち消されるので、nの値に影響は無い。
つまりm<でもｍ>0でもnの値は同じとなるので、m>0つまりmが自然数の場合のみ考えればよい。
（m=0の場合はn=±√(-21)となり自然数ではなくなるので該当しない）
ｍが自然数の場合、n^2=m^2-21<m^2なので、n<mとなり、kも自然数となる。

(n+k)^2=n^2+2nk+k^2=n^2+21より
k^2+2nk=21
2nkは偶数であり、21は奇数なので、k^2は奇数となり、kも奇数です。

k^2+2nk=21(n,kは自然数)よりk^2=21-2nk<21
よって0<k<√21です。
0<k<√21<5を満たす奇数のkは1,3となります。
k=1の時1+2n=21よりn=10
k=3の時9+6n=21よりn=2

よってn=10,2となります。

No.3 回答者： wild_kit 回答日時： 2017/03/06 03:13

√（ｎ²＋２１）が整数ｘであるとする。

ｎが自然数ということは、ｎ²は自然数であり、ｎ²＋２１も自然数である。
またｎ²＋２１が自然数であり、√（ｎ²＋２１）が整数ということは、ｘは自然数である。
ｘ＝√ｘ²であるから、ｘ²＝ｎ²＋２１である。
　さてｘとｎの関係を図示してみよう。
すると一辺がｘの正方形から一辺がｎの正方形の面積を引いたものが２１（青い部分）であることになる。
赤補助線で区切った二つの長方形＜ｘ（ｘ－ｎ）とｎ（ｘ－ｎ）＞の合計面積が２１である。
ということは、ｘ（ｘ－ｎ）＋ｎ（ｘ－ｎ）＝２１
ｘ（ｘ－ｎ）＋ｎ（ｘ－ｎ）＝（ｘ＋ｎ）（ｘ－ｎ）
ｘ・ｎともに自然数であり、ｘ＞ｎであるから、ｘ＋ｎとｘ－ｎは自然数である。
またｘ＋ｎ＞ｘ－ｎである。
自然数同士を掛け合わせて２１になる組み合わせは３と７である。
これらの条件からｘ＋ｎ＝７、ｘ－ｎ＝３となる。
（ｘ＋ｎ）＋（ｘ－ｎ）＝７＋３＝１０
２ｘ＝１０　ｘ＝５
ｎ＝７－５＝２

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/03/06 01:38

21は整数なので、

√n²が整数となるような自然数n、ということであれば、
nの二乗の平方根はnなので、
0を含む、±を含むすべての整数　…答
ひっかけ？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/03/06 00:29

√n²+21 が √(n^2+21) のことだとしたら, つまりは

m^2 = n^2+21
と書けるってことだ.

21 を素因数分解できますよね?